[Risolto] Determina l equazione della parabola tangente all asse x e tangente alla retta 2x+y-8=0

Avevo già risposto a tale domanda!

Ciao e benvenuto/a.

La parabola incognita, dovendo essere tangente all'asse delle x in un suo punto x=b (da determinare) deve avere equazione:

y = a·(x - b)^2

Il punto di tangenza A si determina a partire dalla retta assegnata:

2·x + y - 8 = 0 in x=6

2·6 + y - 8 = 0----------> y = -4------>A(6,-4)

La parabola ha equazione:

y = a·x^2 - 2·a·b·x + a·b^2

Per essa si possono scrivere le formule di sdoppiamento:

(y - 4)/2 = a·6·x - 2·a·b·(x + 6)/2 + a·b^2

Risolvo l'equazione della retta tangente in y (la esplicito!)

y = 8 - 2·x

Risolvo l'equazione precedente in y :

y = 2·a·x·(6 - b) + 2·(a·b·(b - 6) + 2)

Opero un confronto fra i coefficienti ottenuti nelle due ultime equazioni lineari trovate:

{2·(a·b·(b - 6) + 2) = 8

{2·a·(6 - b) = -2

Risolvo per sostituzione il sistema :

{2·a·b^2 - 12·a·b + 4 = 8

{12·a - 2·a·b = -2

Quindi:

a = 1/(b - 6)------> 2·(1/(b - 6))·b^2 - 12·(1/(b - 6))·b + 4 = 8

2·b + 4 = 8------> b = 2

a = 1/(2 - 6)-------> a = - 1/4

Quindi l'equazione cercata:

y = (- 1/4)·(x - 2)^2---------> y = - x^2/4 + x - 1