[Risolto] equazione differenziale

Ciao!

Il procedimento è abbastanza lungo, cerco di andare con ordine.

1. Studio del tipo di equazione

Siamo davanti ad un'equazione differenziale del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti con forzante non nulla (non omogenea). 

y''(x)+ay'(x)+by(x)=g(x)

2. Scelta del metodo risolutivo

Tendenzialmente si può risolvere un'equazione di questo tipo in due modi:

• Metodo di somiglianza;
• Metodo di variazione delle costanti.

Il primo metodo si applica, di solito, quando la forzante ha un'espressione "comoda" (dove per comoda si intende formata da una somma di polinomi, esponenziali e funzioni seno e coseno). In questo caso andrebbe bene per i primi due termini, ma non per l'ultimo.

Per tale ragione, siamo portati a scegliere il metodo di variazione delle costanti.

3. Applicazione del metodo

3.1) Soluzione dell'omogenea

Il primo step è passare all'omogenea associata e risolverla scrivendo l'equazione caratteristica:

$y$''$-4y'+4y=0$
$z^2-4z+4=0$
$z=2$
$ y(x)= y_{1}(x)+ y_{2}(x)=c_{1} e^{2x}+ c_{2} xe^{2x} $

3.2) Soluzione particolare

Abbiamo deciso di usare il metodo di variazione delle costanti, dunque dobbiamo calcolare una soluzione particolare del tipo:

$\bar{y} (x)=\psi_{1}(x)y_{1}(x)+\psi_{2}(x)y_{2}(x)$

3.2.1) Derivata

Troviamo la derivata della funzione $\bar{y}(x)$ : 

$\bar{y}'(x)=\psi_{1}'(x)y_{1}(x)+\psi_{1}(x)y_{1}'(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}(x)+\psi_{2}(x)y_{2}'(x)$

Ora, al fine di semplificare i calcoli, si pone la condizione (senza perdita di generalità):

$\psi_{1}'(x)y_{1}(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}(x)=0$

Dunque, in definitiva, la derivata è:

$\bar{y}'(x)=\psi_{1}(x)y_{1}'(x)+\psi_{2}(x)y_{2}'(x)$

3.2.2) Derivata seconda

Troviamo la derivata seconda della funzione $\bar{y}(x)$ :

$\bar {y}$ '' $=\psi_{1}'(x)y_{1}'(x)+\psi_{1}(x)y_{1}$''$(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}'(x)+\psi_{2}(x)y_{2}$''$(x)$

3.2.3) Sostituzione

Si procede, dunque, a sostituire le due espressioni trovate nell'equazione di partenza.

$(\psi_{1}'(x)y_{1}'(x)+\psi_{1}(x)y_{1}$''$(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}'(x)+\psi_{2}(x)y_{2}$''$(x))-4(\psi_{1}(x)y_{1}'(x)+\psi_{2}(x)y_{2}'(x))+4(\psi_{1}(x)y_{1}(x)+\psi_{2}(x)y_{2}(x))=sin(2x)+e^{2x}+ \frac{e^{2x}}{1+x^2}$

Riarrangiando i termini:

$\psi_{1}(x)(y_{1}$''$(x)-4y_{1}'(x)+4y_{1}(x))+\psi_{2}(x)(y_{2}$''$(x)-4y_{2}'(x)+4y_{2}(x))+(\psi_{1}'(x)y_{1}'(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}'(x))=sin(2x)+e^{2x}+ \frac{e^{2x}}{1+x^2}$

Esaminiamo i primi due addendi: Essi non sono altro che l'equazione differenziale omogenea di partenza, in cui al posto di $y(x)$ abbiamo $y_{1}(x)$ e $y_{2}(x)$, che sono soluzioni dell'omogenea stessa (per quanto trovato precedentemente). Quindi, essendo questi pari a 0, la relazione che ci interessa è la seguente:

$\psi_{1}'(x)y_{1}'(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}'(x)=sin(2x)+e^{2x}+ \frac{e^{2x}}{1+x^2}$

3.2.4) Impostazione del sistema lineare

Si imposta, quindi, il seguente sistema, basato sulla condizione precedentemente considerata e il risultato appena ottenuto:

$\left\{{\begin{matrix}\psi_{1}'(x)y_{1}(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}(x)=0\\\psi_{1}'(x)y_{1}'(x)+\psi_{2}'(x)y_{2}'(x)=sin(2x)+e^{2x}+ \frac{e^{2x}}{1+x^2}\end{matrix}}\right.$

3.2.5) Risoluzione del sistema lineare

Passo alla matrice associata al sistema lineare:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}y_{1}(x)&y_{2}(x)\\y_{1}'(x)&y_{2}'(x)\end{matrix}}\right)}$

e ne calcolo il determinante (ovvero il Wronskiano), sostituendo a $y_{1}(x)$ e $y_{2}(x)$ le espressioni trovate dalla soluzione dell'omogenea:

$W(x)=det({\displaystyle \left({\begin{matrix}e^{2x}&xe^{2x}\\ \frac{d}{dx}(e^{2x}) & \frac{d}{dx}(xe^{2x}) \end{matrix}}\right)}) = det({\displaystyle \left({\begin{matrix}e^{2x}&xe^{2x}\\2e^{2x}&e^{2x}+2xe^{2x}\end{matrix}}\right)} )= e^{4x}$

Ricorrendo al metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari, si ottiene che il sistema è determinato per:

$\psi_{1}'(x)={\frac {-y_{2}(x)(sin(2x)+e^{2x}+ \frac{e^{2x}}{1+x^2})}{W(x)}}\qquad \qquad \psi_{2}'(x)={\frac {y_{1}(x)(sin(2x)+e^{2x}+ \frac{e^{2x}}{1+x^2})}{W(x)}}$

Sostituiamo poi le espressioni di $y_{1}(x)$ e $y_{2}(x)$ e otteniamo la "forma pulita" delle quantità che dobbiamo calcolare.

3.2.6) Integrazione

Adesso siamo di fronte all'ultimo scoglio: l'integrazione. Per quanto possano sembrare brutti, non sono affatto complicati. 

Dopo un po' di calcoli (che non riporto per evitare di scrivere codice per un'altra mezz'ora), si ottiene:

$\psi_{1}(x)= -\frac{1}{2}(x^2+log(1+x^2))+\frac{1}{8}e^{-2x}(cos(2x)(2x+1)+2xsin(2x))$

$\psi_{2}(x)=x+arctan(x)-\frac{1}{4}e^{-2x}(cos(2x)+sin(2x))$

 3.2.7) Riscrittura della soluzione particolare

In definitiva, la soluzione particolare è:

$y_{p}(x)=\psi_{1}(x)y_{1}(x)+\psi_{2}(x)y_{2}(x)=\frac{1}{8}cos(2x)+e^{2x}(\frac{x^2}{2}+xarctan(x)-\frac{log(1+x^2)}{2})$

3.3) Soluzione finale

La soluzione finale si calcola come somma della soluzione dell'omogenea e di quella particolare.

Si ottiene, finalmente:

$y(x)=c_{1} e^{2x}+ c_{2} xe^{2x}+\frac{1}{8}cos(2x)+e^{2x}(\frac{x^2}{2}+xarctan(x)-\frac{log(1+x^2)}{2})$

 

 

Spero di esserti stato utile! Per qualsiasi dubbio chiedimi! 😉 

 

 

 

 

 

Ho individuato l'integrale generale, ma non è tanto semplice.

Ricorro ad un metodo misto, forse poco ortodosso, in cui mischio varie cose.

Inutile affidarsi a programmi di verifica : Symbolab rifiuta di risolverla, Wolfram pretende

di farlo nel campo complesso e tira fuori funzioni speciali a go-go. Così ho verificato solo

la correttezza dei singoli addendi, affidandomi alla linearità per quella della soluzione generale.

 

L'omogenea associata  y'' - 4y' + 4y = 0

ha ( radice doppia L = 2)     soluzione generale    C1 e^(2x) + C2 x e^(2x)

Per trovare una soluzione particolare al termine noto    sin(2x)

 

utilizzo il metodo dei Fasori dell'Elettrotecnica perchè è molto rapido :

 

(j w)^2 Y - 4 jw Y + 4 Y = 1    prendendo come riferimento di fase il seno

w = 2

- 4 Y - 8 j Y + 4 Y = 1

- 8j Y = 1

Y = 1/(-8j) = j/8

 

yp(x) = 1/8 cos 2x.

Se non ricordi il metodo dei fasori, cerca in base al metodo di somiglianza una soluzione particolare come

H cos 2x + K sin 2x

ed eventualmente scrivi le difficoltà --- non posso insistere su questo perchè la parte successiva non è breve.

 

Per l'altro integrale particolare, corrispondente al termine noto  e^(2x) + e^(2x)/(x^2+1)

procedo direttamente per integrazioni successive. Uso cioè il metodo della Decomposizione Operatoriale.

 

y'' - 2y' - 2y' + 4y = e^(2x) + e^(2x)/(x^2 + 1)

(y' - 2)' - 2(y' - 2) = e^(2x) + e^(2x)/(x^2 + 1) 

 

y' - 2y = u

u' - 2u  = e^(2x) ( 1 + 1/(x^2 + 1) )

(u' - 2u) e^(-2x) = 1 + 1/(x^2 + 1)

( u e^(-2x) )' = 1 + 1/(x^2 + 1)

integrando

 

u e^(-2x)  = x + arctg x

u(x) = e^(2x) (x + arctg x )

 

y' - 2y = e^(2x) (x + arctg x ) 

(y' - 2y) e^(-2x) = x + arctg x

(y e^(-2x))' = x + arctg x

con un'altra integrazione

 

y e^(-2x) = 1/2 x^2 + x arctg x - S x * 1/(x^2+1) dx 

yp(x) = e^(2x) *[ 1/2 x^2 + x arctg x - 1/2 ln (x^2+1) ]

 

per cui ricomponendo

y(x) = C1 e^(2x) + C2 x e^(2x) + 1/8 cos(2x) +

+ e^(2x) *[ 1/2 x^2 + x arctg x - 1/2 ln (x^2+1) ]