Di una funzione $y=f(x)$ si sa che ha la derivata seconda uguale a $2 / x$, che $f(5)=-3$ e che $f(7)=4$. Calcolare il valore approssimato $f(6)$ usando l'interpolazione lineare.
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$ 0.50 $
$ 3.65 $
$-2.65$
$ 2.95 $
$-1.25$
Potreste aiutarmi con questo?
grazie mille
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Livello 1
Le condizioni fornite sono sufficienti a determinare la funzione
* (f''(x) = 2/x) & (f(5) = - 3) & (f(7) = 4) ≡
≡ f(x) = 2*x*ln(x) + (7/2 + ln(5^5/7^7))*x - 41/2 + ln((7/5)^35) ~≡
~≡ f(x) = y = 2*x*ln(x) - 2.074*x - 8.723
integrando due volte
* ∫ 2*dx/x = 2*ln(x) + c; ∫ (2*ln(x) + c)*dx = (c + 2*ln(x) - 2)*x + C
e risolvendo il sistema dei vincoli
* ((c + 2*ln(5) - 2)*5 + C = - 3) & ((c + 2*ln(7) - 2)*7 + C = 4) ≡
≡ (c = 11/2 + 5*ln(5) - 7*ln(7)) & (C = - 41/2 - 35*ln(5) + 35*ln(7))
da cui
* f(6) = 2*6*ln(6) + (7/2 + ln(5^5/7^7))*6 - 41/2 + ln((7/5)^35) =
= 1/2 - 5*ln(5) + 12*ln(6) - 7*ln(7) ~=
~= 0.5 - 8.047 + 21.501 - 13.621 ~= 0.333
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Invece il punto medio M del segmento di estremi A(5, - 3) e B(7, 4) si calcola molto semplicemente (ma anche MOOLTO erroneamente) facendo la media delle coordinate omologhe
* M = (A + B)/2 = ((5, - 3) + (7, 4))/2 = (6, 1/2)
quindi
* f(6) ~= 0.5
avendo interpolato, per x ∈ [5, 7], la curva y = f(x) con la retta
* AB ≡ y = (7*x - 41)/2
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Puoi stimare la qualità dell'interpolazione da una rappresentazione grafica
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%287*x-41%29%2F2%2Cy%3D2*x*ln%28x%29-%282.074%29*x-%288.723%29%5Dx%3D5.99to6.01
51881
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Genius I
@exprof grazie ☺️
