Derivate

sono due rette;

f(x) passa nei punti  (- 3; 0);   (0; 2);

y = mx + q;

0 = m * (- 3) + q; (1)

2 =  m * 0 + q;  (2)  ricaviamo q:

q = 2; sostituiamo nella (1)

- 3m + 2 = 0;

m = 2/3;

f(x) = 2/3 x + 2;

g(x) passa nei punti  (0, 4);   (3; 0);

y = mx + q;

4 = m * 0 + q; (1)  ricaviamo q:

q = 4;

0 =  m * 3 + q;  (2) 

q = 4; sostituiamo nella (2)

 3m + 4 = 0;

m = - 4/3;

g(x) = - 4/3 x + 4;

Punto di intersezione A:

y = 2/3 x + 2;  (1)

y =  - 4/3 x + 4;  (2)  confronto:

2/3 x + 2 = - 4/3 x + 4;  moltiplichiamo per il denominatore  3;

2x + 6 = - 4x + 12 ;

6x = 12 - 6;

x = 1;

y = 2/3 * 1 + 2 = 2/3 + 6/3 = 8/3;

A (1; 8/3) intersezione delle rette;

rapporto delle due funzioni   f(x) e g(x):

semplifichiamo il rapporto:

f(x) / g(x) = (2/3 x + 2) / (- 4/3 x + 4) = (2x + 6) / (- 4x + 12) =

= 2 * (x + 3) / [2 *(- 2x + 6)] = (x + 3) / (- 2x + 6);

D[(2/3 x + 2) / (- 4/3 x + 4)] =

= D[(x + 3) / (- 2x + 6)] =

= [1 * (- 2x + 6) - (x + 3) * (- 2)] / (- 2x + 6)^2 =

= [- 2x + 6 + 2x + 6] / (4x^2 + 36 - 24x) =

= 12 / (4x^2 + 36 - 24x);  

Calcolata in A,  x = 1;

D = 12 / (4 + 36 - 24) = 12 / 16 = 3/4;

Se invertiamo il rapporto: 

D [g(x) / f(x)];

D[(- 2x + 6)/(x + 3) ] =

=  [-2 * (x + 3) - (- 2x + 6) * 1] /(x + 3)^2 =

= [- 2x - 6 + 2x - 6] / (x + 3)^2 

= - 12 / (x + 3)^2;

Derivata calcolata in x = 1;

= - 12 / 4^2 = - 12/16 = - 3/4 ;

la derivata cambia segno.

Ciao  @mike_lorenzo

a. Equazioni delle rette f(x), g(x). Usiamo l'equazione segmentaria

1. f(x).    $\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1  \; ⇒ \; y = \frac{2}{3}x+2$

2. g(x).    $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1  \; ⇒ \; y = -\frac{4}{3}x+4$

b.  Coordinate punto A intersezione delle due rette.

si ottengono risolvendo il sistema

$ \begin{cases}  y = \frac{2}{3}x+2 \\ y = -\frac{4}{3}x+4 \end{cases} $

$ A(1, \frac{8}{3})$ 

c. Derivata del rapporto f(x) e g(x) calcolata nel punto A.

$ D \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{\frac{2}{3}(-\frac{4}{3}x+4) + \frac{4}{3}(\frac{2}{3}x+2)}{(-\frac{4}{3}x+4)^2} $

                $ = \frac{(3-x)+(3+x)} {2(3-x)^2} $

                $ = \frac{3} {(3-x)^2} $

nota: non ho trascritto i passaggi intermedi.

$ D  \left. \left(\frac{f(x)}{g(x)} \right) \right|_{x=1} = \frac{3}{4} $

d. Derivata del rapporto g(x) e f(x) calcolata nel punto A.

$ D \left(\frac{g(x)}{f(x)} \right) = \frac{-\frac{4}{3}(\frac{2}{3}x+2) - \frac{2}{3}(-\frac{4}{3}x+4)}{(-\frac{4}{9}(x+3)^2} $

                $ = \frac{-2(-x+3+x+3)} {2(3+x)^2} $

                $ = -\frac{12} {(3+x)^2} $

$ D \left. \left(\frac{g(x)}{f(x)} \right) \right|_{x=1} = -\frac{3}{4} $