Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Calcolare la derivata della funzione $f(x)=x\sin x$ adoperando la definizione di derivata.
Soluzione:
Sapendo che $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$, si tratta di svolgere solamente dei conti.
$$\lim_{h \to 0} \frac{x \sin (x+h)+h\sin (x+h)-x\sin x}{h}$$
$\sin (a+b)=\sin a \cos b + \cos a \sin b$
$$\lim_{h \to 0} \frac{x\sin x \cos h + x\cos x \sin h+h\sin x \cos h +h \cos x \sin h-xsinx}{h}$$
$$\lim_{h \to 0} \frac{x\sin x (\cos h -1) + x\cos x \sin h+h\sin x \cos h +h \cos x \sin h}{h}$$
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1$
$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0$ , si ottiene tramite trasformazioni o de l'Hôpital.
$$\lim_{x \to 0} \frac{x\sin x (\cos h -1)}{h}+x\cos x +\sin x \cos h +h \cos x \sin h=$$
$$=0+x\cos x +\sin x +0=x \cos x +\sin x$$.
$D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$.
Infatti $D(x\sin x)=\sin x + x\cos x$.
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Livello 6
@rebc Ottima spiegazione grazie mille rebc