DERIVATE

Il libro ha sbagliato l'ultimo punto.

$\textbf{a.}$

L'asserto, oltre ad essere ovvio, è facile da dimostrare. Perché le curve si intersechino nel primo quadrante in un punto $I$, deve accadere che $x_I >0$ e $y_I>0$, studiamo quindi la negatività di $\gamma$ e $\Gamma_k$ al variare di $x$ ponendo $k>0$:

$\frac{1}{x} <0 \implies x <0$, mentre $x^2k <0$ è impossibile perché $k>0$ e $x^2>0 \forall x$, le curve non possono quindi intersecarsi in punti con ordinata e ascissa negativa, se si intersecano si intersecano solo nel primo quadrante. Possiamo dimostrare che si intersecano sempre risolvendo $\frac{1}{x}=kx^2$

$kx^3=1 \implies x = \frac{1}{\sqrt[3]{k}}$, che per $k>0$ è sempre un punto del dominio di ciascuna delle due funzioni.

$\textbf{b.}$

Due curve sono ortogonali se esiste un punto $A$ per cui le tangenti alle curve condotte per $A$ sono perpendicolari tra loro.

La tangente alla curva nel punto $A$ ha coefficiente angolari pari alla derivata della curva calcolata nell'ascissa di $A$, quindi poniamo $\gamma '(x_A)=-\frac{1}{\Gamma_k '(x_A)}$

$\gamma (x)=\frac{1}{x} \implies \gamma ' (x) =-\frac{1}{x^2}$, mentre $\Gamma_k (x)= kx^2 \implies \Gamma_k '(x) = 2kx$ per la regola della potenza.

Allora poniamo $-\frac{1}{x_A^2}=-\frac{1}{2kx_A}$

da cui $x=2k$

Adesso esprimiamo $x_A$ in funzione di $k$ risolvendo $\gamma (x_A) = \Gamma_k (x_A)$

$\frac{1}{x_A}=kx_A^2$

$x_A=\frac{1}{\sqrt[3]{k}}$ (che è la soluzione che avevamo trovato in $\textbf{a.}$)

quindi $2k=\frac{1}{\sqrt[3]{k}}$

$2k\sqrt[3]{k}=1$

$8k^4=1$
$k=\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$

$\textbf{c.}$

La bisettrice del secondo e quarto quadrante ha equazione $y=-x$, iniziamo trovando la tangente a $\gamma$ risolvendo innanzitutto $\gamma '(x)=-1$

$-\frac{1}{x^2}=-1 \implies x=1$, quindi la retta è $y-f(1)=-(x-1)$, ma $f(1)=\frac{1}{1}=1$, quindi:

$y-1=-x+1$

$y=-x+2$

Sappiamo che le rette distano tra loro $2\sqrt{2}$, quindi il punto di tangenza $x_{\Gamma}$ è distante $2\sqrt{2}$ dalla retta tangente $\gamma$ in $(1,1)$, allora usiamo la formula della distanza tra un un punto e una retta, ma portiamo prima in forma esplicita l'equazione della tangente:
$x+y-2$

$\frac{|x_{\Gamma} +\Gamma _k(x_{\Gamma})-2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$|x_{\Gamma} + \Gamma _k(x_{\Gamma})-2| = 4$

Ricordiamo anche che $\Gamma _k'(x_{\Gamma})=-1$ altrimenti la retta non sarebbe tangente, quindi $2kx_{\Gamma}=-1 \implies k = -\frac{1}{2x_{\Gamma}}$, $\Gamma _k(-\frac{1}{2k})=k \frac {1}{4k^2}=\frac{1}{4k}$ allora sostituiamo nella formula della distanza:

$|-\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k}-2|=4$

$|\frac{1}{4k}+2|=4$ (qui inverto il segno del valore assoluto perché $|x|$ è pari e mi piacciono i numeri positivi🎀) 

$\frac{1}{4k}+2= \pm 4$

$\frac{1}{4k} = -2 \pm 4$

$4k = \frac{1}{-2 \pm 4}$

$k=\frac{1}{-8 \pm 16}$

$k=\frac{1}{8}, -\frac{1}{24}$

Il risultato che leggi sul libro è errato, questo grafico lo dimostra:

 La parabola in rosso è quella che si genera per $k=\frac{1}{24}$, la circonferenza blu indica tutti i punti distanti $2\sqrt{2}$ dal punto $C$, come vedi, le parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante sono 2, quella in viola non passante per $C$ è la tangente individuata per $k=\frac{1}{8}$, mentre quella rossa per $k=-\frac{1}{24}$. Come vedi, i punti distanti $2\sqrt{2}$ hanno tangenti che non sono parallele a $y=-x$, quindi è probabile che chi si è occupato di scrivere i risultati abbia scordato un $-$.