DERIVATA

1.

L'equazione della retta $r$ è $y=f'(-1)(x+1)$ dato che la retta è tangente alla circonferenza nel punto $(-1,0)$ abbiamo imposto il passaggio per questo punto e poi sappiamo che è anche tangente al grafico nello stesso punto, quindi il coefficiente angolare è semplicemente $f'(-1)$, allora espandiamo:

$r:\ y= f'(-1)x+f('-1)$

abbiamo quindi $m=n=f'(-1)$, non ci resta che derivare $f(1)$, quindi:

$f(x)=x-x^3=x(1-x^2) \implies f'(x)= 1-3x^2$ per la regola del prodotto, quindi $m=n=f'(-1)=1-3(-1)^2=-2$.

2. Stavolta sappiamo che la retta passa per il punto $(a,b)$ appartenente al grafico di $f(x)$ e di nuovo per il punto $(-1,0)$, tuttavia, dato che $(a,b)$ è un punto del grafico è ovvio che $(a,b)=(a,f(a))$, quindi poniamo il passaggio per questi due punti:

$-\frac{y}{f(a)}=-\frac{x+1}{a+1}$

portiamo in forma esplicita:

$y=\frac{f(a)}{a+1}x+\frac{1}{a+1}$, dato che la retta è tangente alla curva nel punto $(a,f(a))$, il coefficiente angolare $\frac{f(a)}{a+1}$ deve essere uguale alla derivata di $f(a)$, quindi $\frac{f(a)}{a+1}=f'(a)$:

$\frac{a(1-a)(a+1)}{a+1}=1-3a^2$

$2a^2+a-1=0$
$a^2+\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}=0$

$(a+1)(a-\frac{1}{2})=0$
Abbiamo già trovato la retta tangente nel punto di ascissa $-1$ che era $r$, quindi dobbiamo scegliere $a=\frac{1}{2}$, allora risulta $b=f(a)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$.

3.

Calcoliamo l'angolo $\alpha$ compreso fra $r$ ed $s$, sappiamo che il coefficiente angolare di ciascuna retta è la tangente dell'angolo che questa forma con il semiasse positivo delle ascisse, quindi calcoliamo il coefficiente angolare di $s$ dalla sua equazione:

$m_s=\frac{f(\frac{1}{2})}{a+1}=\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{4}$

ricordando le formule della tangente $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$, nel nostro caso:

$\tan \alpha = \frac{m_s-m_r}{1+m_sm_r}=(\frac{1}{4}+2)(1-2\frac{1}{4})=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{9}{2}$

$\alpha=\arctan(\tan(\alpha) \approx 77.47^{\circ}$.