[Risolto] Derivate

In assenza di parentesi interpreto la tua stringa di caratteri
* "F(×)=3e^-×/2(×^2+6×+5)"
(sostituendovi il carattere "x ics minuscolo" per l'operatore di prodotto vettore "× croce di Sant'Andrea" ed esplicitando l'operatore di moltiplicazione "* asterisco") come avrebbe fatto un analizzatore sintattico (standard, da sinistra a destra) producendo l'espressione equivalente parentesizzata
* F(x) = (3/2)*(x^2 + 6*x + 5)/e^x
alla quale applicare le diverse regole di derivazione.
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A) D[k*f(x)] = k*D[f(x)] = k*f'(x)
* D[(3/2)*(x^2 + 6*x + 5)/e^x] = (3/2)*D[(x^2 + 6*x + 5)/e^x]
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B) D[f(x)/g(x)] = (g(x)*f'(x) - f(x)*g'(x))/g^2(x)
* (3/2)*D[(x^2 + 6*x + 5)/e^x] =
= (3/2)*((e^x)*D[x^2 + 6*x + 5] - (x^2 + 6*x + 5)*e^x)/e^(2*x)
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C) D[x^2 + 6*x + 5] =
= D[x^2] + D[6*x] + D[5] =
= 2*x + 6 + 0
NOTA: ho dato per buono che tu riconosca il punto A ed anche
* D[k] = 0
* D[x^(n + 1)] = (n + 1)*x^n
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D) Unendo i punti B e C si ha
* (3/2)*D[(x^2 + 6*x + 5)/e^x] =
= (3/2)*((e^x)*D[x^2 + 6*x + 5] - (x^2 + 6*x + 5)*e^x)/e^(2*x) =
= (3/2)*((e^x)*(2*x + 6) - (x^2 + 6*x + 5)*e^x)/e^(2*x) =
= - (3/2)*(x^2 + 4*x - 1)/e^x
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CONTROPROVA nel paragrafo "Derivative" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=D%5B%283%2F2%29*%28x%5E2--6*x--5%29%2Fe%5Ex%5D

Ciao.

Interpreto la funzione assegnata come:

Quindi:

y = 3·e^(-x)/(2·(x^2 + 6·x + 5)) tipo: y=k*f(x)/g(x)

con k=3/2; f(x)=e^(-x); g(x)=x^2+6x+5

Quindi: 

y'=dy/dx=k*(f'*g-f*g')/g^2

quindi:

f'*g-f*g'=- e^(-x)·(x^2 + 6·x + 5) - e^(-x)·(2·x + 6) =

=- e^(-x)·(x^2 + 6·x + 5 + 2·x + 6) = - e^(-x)·(x^2 + 8·x + 11)

In definitiva:

y ' = dy/dx = - 3·e^(-x)·(x^2 + 8·x + 11)/(2·(x^2 + 6·x + 5)^2)

come è questa funzione?

$\frac{3e^{-x}}{2(x^2+6x+5)}$

oppure

$3e^{\frac{-x}{2(x^2+6x+5)}}$

Dato che siamo giunti a definire che la funzione giusta è:

$3e^{-x/2}*(x^2+6x+5)$

questa si configura come prodotto di due funzioni $f(x)*g(x)$:

$f(x)=3e^{-x/2}$ e $g(x)=(x^2+6x+5)$

la formula della derivata del prodotto fornisce

$f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)$

quindi

$f'(x)=3e^{-x/2}*(-1/2)=-\frac{3}{2}e^{-x/2}$

$g'(x)=2x+6$

quindi

la derivata finale sarà:

$-\frac{3}{2}e^{-x/2}*(x^2+6x+5)+3e^{-x/2}*(2x+6)=-\frac{3}{2}e^{-x/2}*(x^2+6x+5-4x-12)=-\frac{3}{2}e^{-x/2}*(x^2+2x-7)$