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Question

[attach]119337[/attach] ARGOMENTARE E DIMOSTRARE.

RebC · Accepted Answer

Problema: Considera la funzione f(x)=xe^x. Indicata ora con f^{(n)} la derivata n-esima della funzione dimostra, per induzione su n, che f^{(n)}(x)=(x+n)e^x, per ogni n  in  mathbb {N}. Soluzione: «Fin dal primo giorno questo tacchino osservò che, nell'allevamento in cui era stato portato, gli veniva dato il cibo alle 9 del mattino. E da buon induttivista non fu precipitoso nel trarre conclusioni dalle sue osservazioni e ne eseguì altre in una vasta gamma di circostanze: di mercoledì e di giovedì, nei giorni caldi e nei giorni freddi, sia che piovesse sia che splendesse il sole. Così arricchiva ogni giorno il suo elenco di una proposizione osservativa in condizioni più disparate. Finché la sua coscienza induttivista non fu soddisfatta ed elaborò un'inferenza induttiva come questa: "Mi danno sempre il cibo alle 9 del mattino". Questa concezione si rivelò incontestabilmente falsa alla vigilia di natale, quando, invece di venir nutrito, fu sgozzato.» (Bertrand Russell, 1912)   [spoiler title="Dimostrazione per induzione"] Si procede in tre passi: Passo base: si verifica che la relazione è vera per un numero qualsiasi. Passo di supposizione: si suppone che sia sempre vera, se lo è sarà vera anche per il numero successivo. Passo induttivo: si verifica che la formula è vera per n+1$.   Si ricorda che questo metodo a seconda dei casi è un assioma o un principio dei numeri naturali che si prende per valido.  [/spoiler] Per il principio di pigrizia si suppone che l'insiemi dei naturali contenga anche lo zero. Si ha dunque che per il passo base n=0$ l'espressione è verificata dato che f^0 equiv f. Si suppone quindi vera la relazione f^{(n)}(x)=(x+n)e^x. È necessario dimostrare tramite passo induttivo che ciò è valido anche per n+1$. Dimostrando ciò si ottiene che per ogni numero naturale la relazione è vera, dato che n è un numero qualsiasi e n+1$ è il suo successivo. O almeno così dovrebbe secondo gli assiomi; sia mai diventi un tacchino... f^{(n+1)}(x):= frac {d}{dx}f^{(n)}(x)$ per definizione, si ha dunque che:  frac {d}{dx}f^{(n)}(x)= frac {d}{x} (x+n)e^x=e^x  +(x+n)e^x=e^x(x+n+1)$ Ma questa altro non è che la relazione data con n'=n+1$ come volevasi dimostrare.

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