Si consideri la funzione $\tan :\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R$. Questa funzione è bigettiva (questo l'esercizio non chiedere di verificarlo). La fungione inversa e chiamata l'arcotangente e si indica arctan $: R \longrightarrow\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Calcolare la derivata dell'arcotangente utilizzando la formula per la derivata della funzione inversa.
95
punti
Livello 1
Se u(x) = arctg x
per definizione di funzione inversa
u [ tg x ] = x
derivando secondo la regola delle funzioni composte
u' [ tg x ] * 1/cos^2(x) = dx/dx = 1
u'[tg x] = cos^2(x).
Ponendo tg x = y
sin^2(x)/cos^2(x) = y^2
1 - cos^2(x) = y^2 cos^2(x)
cos^2(x) *(1 +y^2) = 1
cos^2(x) = 1/(1 + y^2)
ed infine u'(y) = 1/(1 + y^2)
u'(x) = 1/(1 + x^2)
58347
punti
Livello 7
https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/5942-derivata-arcotangente.html#text=La%20derivata%20del l'arcotangente%20%C3%A8,la%20derivata%20della%20funzione%20inversa.
17092
punti
Livello 9
