DERIVATA CON PARAMETRI

a.

Preliminari

• $f(x) = \frac{ax^2+b}{x+3} \; ⇒ \; f(2) = \frac{4a+b}{5} $
• $f'(x) = {ax^2+6ax-b}{(x+3)^2} \; ⇒ \; f'(2) = \frac{16a-b}{25}$
• $r: 7x-5y-9 = 0 \; ⇒ \; m = \frac{7}{5} $

i) Determiniamo le coordinate del punto di tangenza T(2,?)
dall'equazione della retta r: per x = 2 si ha y = 1 quindi T(2, 1)

ii) La curva passa per T(2,1)
$1 = \frac{4a+b}{5} \; ⇒ \; 4a+b=5$. Questa è la prima equazione della relazione tra a e b.

iii) La derivata prima per x=2 deve essere eguale al coefficiente angolare della tangente m.
$ f'(2) = m$
$ \frac{16a-b}{25} = \frac{7}{5} $
$ 16a-b=35 $. Questa è la seconda equazione della relazione tra a e b.

iv) Risolviamo il sistema di due equazioni nelle incognite a, b
$ \begin{cases} 4a+b=5 \\ 16a-b=35 \end{cases} $
La cui soluzione è

$ a = 2 \quad ∧ \quad b=-3 $

b. Punti stazionari
$f'(x) = 0$
$ 2x^2+12x+3 = 0 $
il discriminante Δ = 144-23 = 120 > 0 quindi l'equazione ammette due soluzioni reali distinte.