DERIVATA

Individuo la retta tangente alla funzione assegnata passante per [1, -1]

y + 1 = m·(x - 1)----> y = m·x - m - 1

Determino le intersezioni con gli assi cartesiani:

{y = m·x - m - 1

{y = 0

soluzione: [x = (m + 1)/m ∧ y = 0]

{y = m·x - m - 1

{x = 0

soluzione: [x = 0 ∧ y = -m - 1]

Deve essere:

Α = 1/2·ABS((m + 1)/m)·ABS(-m - 1) = 9/4

Α = (m + 1)^2/(2·ABS(m)) = 9/4

posto m > 0

(m + 1)^2/(2·m) = 9/4---> 4·(m + 1)^2 = 9·2·m

4·m^2 - 10·m + 4 = 0---> 2·(m - 2)·(2·m - 1) = 0

m = 1/2 ∨ m = 2

Quindi due possibili rette tangenti:

y = 2·x - 2 - 1----> y = 2·x - 3

y = 1/2·x - 1/2 - 1----> y = x/2 - 3/2

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Passiamo ora alla funzione:

y = (a·x^2 + b·x + c)/x^2

per avere asintoto orizzontale y=2 deve essere:

a/1 = 2---> a = 2

la funzione: y = (2·x^2 + b·x + c)/x^2  passa per [1, -1]

-1 = (2·1^2 + b·1 + c)/1^2---> -1 = b + c + 2

quindi:   b = -c - 3

La funzione diventa nel solo parametro c:

y = (2·x^2 - x·(c + 3) + c)/x^2

y' = (x·(c + 3) - 2·c)/x^3

y'(1)=(1·(c + 3) - 2·c)/1^3---> y'=3 - c

Retta tangente in [1,-1]

y + 1 = (3 - c)·(x - 1)----> y = x·(3 - c) + c - 4

Quindi confrontiamo quanto ottenuto con le due rette precedenti

{3 - c = 2

{c - 4 = -3

si ottiene: c = 1 (in ogni caso)

{3 - c = 1/2

{c - 4 = - 3/2

si ottiene: c = 5/2 (in ogni caso). Il testo indica di prendere coefficienti interi, quindi la funzione è: (c = 1; b = -1 - 3 = -4)

y = (2·x^2 - 4·x + 1)/x^2

y'=0----> 2·(2·x - 1)/x^3 = 0----> x = 1/2

Punto di stazionarietà:

y = (2·(1/2)^2 - 4·(1/2) + 1)/(1/2)^2---> y = -2

[1/2, -2]