Derivata 1^ e 2^

y = 1/x^2 + 3·SIN(x)^4

y = x^(-2) + 3·SIN(x)^4

D( x^(-2))=- 2/x^3

D(3·SIN(x)^4)=12·SIN(x)^3·COS(x)

y'=12·SIN(x)^3·COS(x) - 2/x^3

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D(12·SIN(x)^3·COS(x))=

=48·SIN(x)^2·COS(x)^2 - 12·SIN(x)^2

D(-2/x^3)= 6/x^4

y''=48·SIN(x)^2·COS(x)^2 - 12·SIN(x)^2 + 6/x^4

a. Derivata prima

$ Dy(x) = D(\frac{1}{x} ) + D(3sin^4(x)) $   "Regola della derivata di una somma"

$ Dy(x) = \frac{-2x}{x^4} + D(3sin^4(x)) $ "Regola della derivata di un rapporto"

$ Dy(x) = -\frac{2}{x^3} + 3D(sin^4(x)) $  "Ho portato fuori dalla derivata una costante"

$ Dy(x) = -\frac{2}{x^3} + 12sin^3(x) \cdot D(sin(x)) $ "Regola della derivata di una funzione composta"

$ Dy(x) = -\frac{2}{x^3} + 12sin^3(x)cos(x) $

b. Derivata seconda. $D^2(y(x)) = D(D(y(x)) $

$D^2(y(x)) = D(-\frac{2}{x^3}) + 12 D(sin^3(x)cos(x)) $ "Regola della derivata di una somma"

$ Dy(x) = -2 \frac{-3x^2}{x^6} + 12 D(sin^3(x)cos(x)) $ "Regola della derivata di un rapporto"

$ Dy(x) = \frac{6}{x^4} + 12 \cdot 3(sin^2(x)cos^2(x)) + 12 sin^3(x)Dcosx $ "Regola derivata di un prodotto"

$ Dy(x) = \frac{6}{x^4} + 36(sin^2(x)cos^2(x)) - 12 sin^4(x) $