Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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11881
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Livello 2
$y= \begin{cases} 2\sin x\ se \ x<0 \\ \cos(x) -1\ se\ x \geq 0 \end{cases}$
$y' = \begin{cases} = 2 \cos x\ se\ x<0 \\ -\sin(x)\ se\ x \geq 0 \end{cases}$
Analizziamo la funzione nel punto di raccordo $x=0$, vediamo se è continua:
$2\sin(0) = \cos(0)-1=0$. La funzione è continua, procediamo a indagare la derivabilità:
$\lim_{x \to 0^-} 2 \cos x = \lim_{x \to 0^+} - \sin x$
Preciso che $\cos(\theta)$ è pari, vale a dire che $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$
$2 \cos(0^-) = - \sin(0^+)$
$2 \cos (0^+)= - \sin(0^+)$
$2 \cdot 1^+ = - 0^+$
$2^+ = 0^-$
$2=0$
che chiaramente è falso.
Dalla nostra analisi abbiamo concluso che la funzione è continua in $x=0$, ma non è derivabile, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra, entrambe esistenti e finite, quindi abbiamo un punto angoloso in $x=0$.
Un grafico dove puoi visualizzare il punto angoloso:
2395
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Livello 3