DERIVABILITA' DI FUNZIONI

$y= \begin{cases} e^{|x|}\ se\ x <1 \\ \frac{1-x}{x-2}\ se\ x \geq 1 \land x \neq 2 \end{cases}$
$y'= \begin{cases} \frac{xe^{|x|}}{|x|}\ se\ x <1 \\ \frac{1}{(x-2)^2}\ se\ x \geq 1 \land x \neq 2 \end{cases}$

ulteriormente abbiamo che:

$y'= \begin{cases} \frac{xe^{x}}{x}\ se\ 0\leq x <1 \\ \frac{xe^{-x}}{-x}\ se \ x<0 \\ \frac{1}{(x-2)^2}\ se\ x \geq 1 \land x \neq 2 \end{cases}$

(usando la regola della catena e la regola del quoziente)

Notiamo che adesso abbiamo in realtà due punti di raccordo per ascisse $x=0$ e $x=1$, verifichiamo la derivabilità della funzione in questi punti:

Notiamo che in $x=0$ la funzione è continua, perché $\lim_{x \to 0^-} e^{|0^-|}= \lim_{x \to 0^+} e^{|0^+|}=1$.

Ora verifichiamo se $\lim_{x \to 0^-} -\frac{xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{xe^x}{x}$

$\lim_{x \to 0^-} -\frac{x}{x} \cdot \lim_{x \to 0^-} e^{-x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} \cdot \lim_{x \to 0^+} e^x$

$-1=1$ che è falso.

Abbiamo visto che le derivate in questo punto esistono, sono finite e diverse, e la funzione è continua, quindi in $x=0$ abbiamo un punto angoloso.

In $x=1$ possiamo subito vedere che la funzione non è continua, perché $e^{|1|} \neq \frac{1-1}{1-2}$, $e \neq 0$. Quindi abbiamo un salto, ovvero un punto singolare di prima specie.

In $x=2$, come vedi, la derivata della funzione tende a $+ \infty$, quindi abbiamo una tangente verticale, altrimenti nota come un punto singolare di seconda specie. Per completezza, un grafico della funzione: