DERIVABILITA' CON PARAMETRI

y = a·e^x + b---> y'=a·e^x

y = 1/(2·e^x - 1)------>y' = - 2·e^x/(2·e^x - 1)^2

Le due componenti sono definite e continue su tutto R assiema alle loro derivate prime.

Quindi dobbiamo far si che siano continue anche per x=0. Si ha:

y = a·e^0 + b

LIM(1/(2·e^x - 1)) = 1

x---> 0+

y' = a·e^0

LIM(- 2·e^x/(2·e^x - 1)^2)= -2

x---> 0+

Quindi deve essere soddisfatto il sistema:

{a·e^0 + b = 1

{a·e^0 = -2

cioè:

{a + b = 1

{a = -2

soluzione: [a = -2 ∧ b = 3]

$ f(x) = \begin{cases} ae^x+b  \quad \text{se  x ≤ 0} \\ \frac{1}{2e^x-1} \qquad \text{se  x > 0} \end{cases} $

1. f(x) è continua nei due tratti dove è definita. imponiamo che lo sia anche nel punto di raccordo x = 0

• $ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = a+b $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 $

i due termini saranno eguali se a + b = 1

$ f'(x) = \begin{cases} ae^x  \qquad \quad\text{se  x ≤ 0} \\ -\frac{2e^x}{(2^x-1)^2} \quad  \text{se  x > 0} \end{cases} $

Calcoliamo le derivate laterali nel punto x = 0 dopo aver osservato che le funzioni della derivata sono continue.

• $D^- f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(x) = a $
• $D^+ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = -2 $

per essere derivabile per x = 1 le due derivate laterali devono essere eguali, cioè a = -2,

ne consegue che b = 1 - a = 3