DERIVABILITA' CON PARAMETRI

$ f(x) = \begin{cases} -2ax^2+bx  \quad \text{se  x ≤ 1} \\ \frac{1}{x^2+1} \qquad \qquad \text{se  x > 1} \end{cases} $

1. f(x) è continua nei due tratti dove è definita. imponiamo che lo sia anche nel punto di raccordo x = 1

• $ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -2a+b $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2} $

i due termini saranno eguali se 2b - 4a = 1

$ f'(x) = \begin{cases} -4ax+b  \quad \text{se  x ≤ 1} \\ -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \quad  \text{se  x > 1} \end{cases} $

Calcoliamo le derivate laterali nel punto x = 1 dopo aver osservato che le funzioni della derivata sono continue.

• $D^- f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -4a+b $
• $D^+ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = -\frac{1}{2} $

per essere derivabile per x = 1 le due derivate laterali devono essere eguali, cioè 8a-2b=1 

Per determinare a e b non ci resta che risolvere il sistema

$ \begin{cases} 2b - 4a = 1 \\ 8a-2b=1 \end{cases} $

La cui soluzione è   $ a = \frac{1}{2} \quad ∧ \quad b = \frac{3}{2} $