DERIVABILITA' CON PARAMETRI

$ f(x) = \begin{cases} x^2-ax-b  \qquad \text{ se  x < 0 }\\ e^x \qquad \qquad \qquad \text{ se x ≥ 0} \end{cases} $ 

i) Continuità

I due tratti che costituiscono la funzione sono continui in tutto ℝ, a maggior ragione lo saranno laddove definiti. Rimane da verificare per quali condizioni lo sono qnche nel punto di raccordo x = 0

• $ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = -b $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 $

per essere continua i tre valori devono essere eguali, quindi b = -1

$ f'(x) = \begin{cases} 2x-a  \qquad \text{ se  x < 0 }\\ e^x \qquad \qquad \text{ se x ≥ 0} \end{cases} $ 

ii) Derivabilità

I due tratti che costituiscono la funzione sono derivabili in tutto ℝ, a maggior ragione lo saranno laddove definiti. Rimane da verificare per quali condizioni lo sono anche nel punto di raccordo x = 0

Osserviamo che le funzioni derivate sono funzioni continue quindi possiamo calcolare le derivate laterali come segue

• D^- f(0) = $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} 2x-a = -a $
• D^+ f(0) = $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} e^x = 1 $
• Le derivate laterali sono eguali se e solo se a = -1