Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ f(x) = \begin{cases} x^2+bx-a \quad \text{ Se x ≥ 0} \\ x-2b \qquad\quad \; \text{ Se x < 0} \end{cases} $
1. f(x), essendo una funzione razionale intera, è continua in (-∞, 0) e in (0, +∞)
2. Continuità in x = 0
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = -a $
$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -2b $
La condizione di continuità è a = 2b
3. Derivata prima
$ f'(x) = \begin{cases} 2x+b \quad \text{ Se x ≥ 0} \\ 1 \qquad\quad \; \text{ Se x < 0} \end{cases} $
4. Condizione per la derivabilità in x = 0
Le due derivate laterali calcolate in x = 0 devono essere eguali. Osserviamo che le due funzioni derivate sono funzioni continue
$ D^- (f'(x)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(x) = b $
$ D^+ (f'(x)) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 $
Condizione di derivabilità b = 1
ne consegue che a = 2b = 2
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Livello 6