[Risolto] DERIVABILITA'

Useremo il lemma che afferma che data una funzione continua in un punto x₀ se ammette derivate laterali eguali allora la funzione è derivabile.

1. f(x) continua in x₀ = 0.

I due tratti della funzione sono continui essendo composizione, somma, etc. di funzioni elementari continue. Rimane da provare la continuità per x = 0. Dalla definizione,

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} ln(x^2+2x+a)= f(0) = ln(a)$
• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} 2e^{bx} = 2$

per cui

$ ln(a) = 2 ⇒ a = e^2$ 

    2. f(x) derivabile in x₀ = 0.

 Imponiamo l'uguaglianza delle due derivate laterali.

• per x ≥ 0
  • • $f'(x) = \frac {2(x+1)}{x^2+2x+e^2}$
    • f'(x) è una funzione continua, quindi la derivata destra

$D^+(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \frac {2}{e^2}$

• per x < 0
  • • $f'(x) = 2b(e^{bx})$
    • f'(x) è una funzione continua, quindi la derivata sinistra

$D^-(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 2b $

Imponiamo l'uguaglianza delle due derivate laterali

$ 2b = \frac {2}{e^2}$

$ b = \frac {1}{e^2}$