Data la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^x-1 & x<0 \\ a x^2+b x+c & x \geq 0\end{array}\right.$, determina $a, b$ e $c$ in modo che la funzione sia derivabile due volte in $\mathbf{R}$. Traccia il grafico della funzione in corrispondenza dei valori di $a, b$ e $c$ trovati. $\quad\left[a=\frac{1}{2}, b=1, c=0\right]$
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Livello 2
LIM(e^x - 1) = 0
x--> 0-
a·0^2 + b·0 + c = 0
y ' = y'' = e^x
LIM(e^x) = 1
x--> 0-
per x ≥ 0 abbiamo:
y' = 2·a·x + b
y'' = 2·a
(2^ componente)
Quindi:
2·a·0 + b = 1
2·a = 1
Abbiamo quindi la soluzione:
{c = 0
{b = 1
{a = 1/2
In definitiva: IF(x < 0, e^x - 1, 1/2·x^2 + x)
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Genius III
