Considera la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x & 0 \leq x<1 \\ 2-x & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text { altrimenti }\end{array}\right.$.
Verifica che definisce una densità di probabilità e determina il valore medio della variabile aleatoria $X$ che ha come densità la funzione $f$.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
La f(x) é sempre non negativa
S_[-oo,+oo] f(x) dx = S_[0,1] x dx + S_[1,2] (2 - x) dx =
= [x^2/2]_[0,1] + [2x - x^2/2]_[1,2] =
= (1-0)/2 + 4 - 2 -(2 - 1/2) =
= 1/2 + 2 - 2 + 1/2 = 2/2 = 1
ed é una densità di probabilità
Intutivamente la media é 1 perché il grafico della pdf é
simmetrico rispetto alla retta x = 1.
Per calcolo diretto
E[X] = S_[-oo,+oo] x f(x) dx =
= S_[0,1] x^2 dx + S_[1,2] x(2 - x) dx =
= [x^3/3]_[0,1] + [ x^2 - x^3/3 ]_[1,2] =
= 1/3 + (4 - 8/3) - (1 - 1/3) =
= 1/3 + 4 - 1 - 8/3 + 1/3 =
= 2/3 - 8/3 + 3 =
= 3 - 2 = 1
58339
punti
Livello 7
