Definire il campo di esistenza

a-3/a^5-9a^3-8a^2+72 NO: non credo che volessi dire quanto hai scritto!

Forse: (a - 3)/(a^5 - 9·a^3 - 8·a^2 + 72)

Frazione algebrica: esiste per tutti i valori di a che non annullano il denominatore

a^5 - 9·a^3 - 8·a^2 + 72 = (a - 2)·(a + 3)·(a - 3)·(a^2 + 2·a + 4) 

(a - 2)·(a + 3)·(a - 3)·(a^2 + 2·a + 4) ≠ 0------>a ≠ -3 ∧ a ≠ 3 ∧ a ≠ 2 C.E.

La funzione é razionale fratta

Devi scomporre il denominatore e togliere da R i valori che lo annullano

a^5 - 9a^3 - 8a^2 + 72 = a^3(a^2 - 9) - 8(a^2 - 9) =

= (a^2 - 9)(a^3 - 8) = (a - 3)(a + 3)(a -2)(a^2 + 2a + 4)

Allora deve essere a =/= -3, a=/=2, a=/= 3

e D = ]-oo,-3[ U ]-3,2[ U ]2,3[ U ]3, +oo[.

Pomeriggio? Sono le 22:05!

DOMANDE PRELIMINARI
1) Il tuo pseudonimo è "lorenzo punto" o "lorenzo meno due"?
Il mio browser visualizza, su righe successive, "Autore / lorenzo. / lorenzo. / (@lorenzo-2) / 5+ post".
2) Ma tu le parentesi le conosci? Sono quelle interpunzioni a coppia complementare da mettere a delimitare ciascuna subespressione: p.es.
(tutto il numeratore-dividendo)/(tutto il denominatore-divisore).
3) Ma tu la differenza fra insieme e campo la conosci? La "C" dell'abbreviazione "CE" significa condizione, mica campo!
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CONDIZIONE D'ESISTENZA di un'espressione algebrica è un'espressione boolean che dev'essere vera affinché l'espressione sia ben definita.
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L'insieme di definizione E di una funzione di variabile reale x, y = f(x), è ciò che resta dell'asse reale dopo averne escluso le ascisse in cui f(x) non è definita.
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Il dominio D di f(x) è ciò che resta dell'insieme di definizione E dopo aver applicato tutte le condizioni restrittive imposte.
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Nei casi in cui non ci siano condizioni restrittive, i due insiemi E e D coincidono; quindi è un vezzo superfluo parlare di "dominio".
Se invece le condizioni ci sono, il dominio di f(x) è l'intersezione di queste con l'insieme di definizione.
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L'insieme di definizione reale Er di f(x) è ciò che resta dell'insieme di definizione E dopo aver applicato la sola condizione restrittiva "Im[f(x)] = 0".
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Il dominio naturale di una funzione y = f(x) di una variabile reale è il più esteso sottinsieme dell'asse reale per cui la definizione di f(x) abbia senso.
Quindi "dominio naturale" è sinonimo di "insieme di definizione", non di "dominio".
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Nella funzione proposta, qual che sia l'interpretazione della stringa "a-3/a^5-9a^3-8a^2+72", non ci sono condizioni restrittive sulla a.
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POSSIBILI PARENTETIZZAZIONI della tua espressione
0) a - 3/a^5 - 9*a^3 - 8*a^2 + 72 =
= - (9*a^8 + 8*a^7 - a^6 - 72*a^5 + 3)/a^5
1) a - 3/(a^5 - 9*a^3) - 8*a^2 + 72 =
= - (8*a^7 - a^6 - 144*a^5 + 9*a^4 + 648*a^3 + 3)/((a + 3)*(a - 3)*a^3)
2) a - 3/(a^5 - 9*a^3 - 8*a^2) + 72 =
= (a^6 + 72*a^5 - 9*a^4 - 656*a^3 - 576*a^2 - 3)/((a^2 - a - 8)*(a + 1)*a^2)
3) a - 3/(a^5 - 9*a^3 - 8*a^2 + 72) =
= (a^6 - 9*a^4 - 8*a^3 + 72*a - 3)/((a + 3)*(a - 3)*(a - 2)*(a^2 + 2*a + 4))
4) (a - 3)/a^5 - 9*a^3 - 8*a^2 + 72 =
= - (9*a^8 + 8*a^7 - 72*a^5 - a + 3)/a^5
5) (a - 3)/(a^5 - 9*a^3) - 8*a^2 + 72 =
= - (8*a^6 + 24*a^5 - 72*a^4 - 216*a^3 - 1)/((a + 3)*a^3)
6) (a - 3)/(a^5 - 9*a^3 - 8*a^2) + 72 =
= (72 a^5 - 648 a^3 - 576 a^2 + a - 3)/((a^2 - a - 8)*(a + 1)*a^2)
7) (a - 3)/(a^5 - 9*a^3 - 8*a^2 + 72) =
= 1/((a + 3)*(a - 2)*(a^2 + 2*a + 4))
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In tutt'e otto le interpretazioni quella stringa rappresenta un rapporto fra polinomi che è ben definito se e solo se la variabile non assume alcun valore che annulli il denominatore
a) a^5 → CE ≡ (a != 0)
b) (a + 1)*(a^2 - a - 8)*a^2 → CE ≡ (a != 0) & (a != - 1)
c) (a + 3)*(a - 2)*(a^2 + 2*a + 4) → CE ≡ (a != - 3) & (a != 2)
d) (a + 3)*(a - 3)*(a - 2)*(a^2 + 2*a + 4) → CE ≡ (a != ± 3) & (a != 2)
e) (a + 3)*(a - 3)*a^3 → CE ≡ (a != 0) & (a != ± 3)
f) (a + 3)*a^3 → CE ≡ (a != 0) & (a != - 2)
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ATTENZIONE
Nessuna delle sei CE definisce un campo perché uno o più dei valori esclusi si può definire come valore di almeno una espressione numerica composta di soli valori dell'insieme di definizione. Ad esempio
* 15 - 15 = 0, esclude a, b, e, f dall'avere un "campo di esistenza".
* 15 - 13 = 2, esclude c, d dall'avere un "campo di esistenza".
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LA PROSSIMA DOMANDA SCRIVILA CORRETTAMENTE, PER FAVORE.