DE L'HOPITAL

Problema:

Si individui il valore del seguente limite:

$\lim_{x \to 0} (\sin x + \cos x)^{\frac{1}{\sin x}}$

Soluzione:

Solitamente quando ci si ritrova forme del tipo $f^g$ conviene utilizzare le proprietà degli esponenziali e dei logaritmi per riscrivere la funzione.

$\lim_{x \to 0} (\sin x + \cos x)^{\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (\sin x + \cos x)}{\sin x}}$

Poiché l'esponenziale è una funzione continua è possibile portare dentro il limite.

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin x + \cos x)}{\sin x}}$

Sostituendo la $x$ si ottiene una forma del tipo $\frac{0}{0}$, poiché le funzioni rispettano le ipotesi del Teorema di de l'Hôpital, è possibile derivare numeratore e denominatore mantenendo invariato il limite.

$e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin x + \cos x)}{\sin x}}=e^{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}}{\cos x}}=e^{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \sin x}{\cos x \sin x + \cos² x}}$

Sostituendo si ottiene:

$e^{\frac{\cos 0 - \sin 0}{\cos 0 \sin 0 + \cos² 0}}=e^{\frac{1-0}{0+1}}=e^1=e$.