Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{sinx}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}} = $
$ =\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^2} ln (\frac{sin x}{x}) }= $
$ =\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{ln (sin x) - ln\,x}{x^2}} = $
La funzione esponenziale è una funzione continua, è così lecito
$ = e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ln (sin x) - ln\,x}{x^2} } = ⊳ $
questa è una forma indeterminata del tipo 0/0. Possiamo applicare de l'Hôpital. Riportiamo solo l'espressione su cui applicare de l'Hôpital
$ \frac{x\cdot cosx -sinx}{2x^2sinx} $
Ancora de l'Hôpital
$ \frac{- x sinx}{2x(2sinx+xcosx)} $
Ancora
$ \frac{-sinx -xcosx}{(4-2x^2)sinx+8xcosx} $
e ancora
$ \frac{xsinx -2cosx}{-2(x^2-6)cosx+6xsinx} $
$⊳ = e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{xsinx -2cosx}{-2(x^2-6)cosx+6xsinx}} =$
$ = e^{-\frac{1}{6}} $
21742
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Livello 6