Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
1/x^2 - 1/SIN(x)^2 = (SIN(x)^2 - x^2)/(x^2·SIN(x)^2)
per x-->0 il limite ha la forma (0/0). Applichiamo De L'Hopital
N'(x)=2·SIN(x)·COS(x) - 2·x
D'(x)=2·x^2·SIN(x)·COS(x) + 2·x·SIN(x)^2
per x-->0 il limite ha la forma (0/0). Applichiamo De L'Hopital
N''(x)=4·COS(x)^2 - 4
D''(x)=4·x^2·COS(x)^2 + 8·x·SIN(x)·COS(x) + 2·SIN(x)^2 - 2·x^2
per x-->0 il limite ha la forma (0/0). Applichiamo De L'Hopital
N'''(x)=- 8·SIN(x)·COS(x)
D'''(x)=(12 - 8·x^2)·SIN(x)·COS(x) - 24·x·SIN(x)^2 + 12·x
per x-->0 il limite ha la forma (0/0). Applichiamo De L'Hopital
N''''(x)=8 - 16·COS(x)^2
D''''(x)=(12 - 8·x^2)·COS(x)^2 - 64·x·SIN(x)·COS(x) + 4·(2·x^2 - 9)·SIN(x)^2 + 12
Ora per x--->0 il limite ha la forma:
N''''(0)=8 - 16·COS(0)^2 =-8
D''''(0)=(12 - 8·0^2)·COS(0)^2 - 64·0·SIN(0)·COS(0) + 4·(2·0^2 - 9)·SIN(0)^2 + 12=
=24
(-8/24)=(-1/3)
che quindi costituisce il valore del limite.
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Genius III