Da un punto A esterno a una circonferenza di centro O traccia le tangenti $A T$ e $A S$. Detto $B$ il punto di intersezione tra $A O$ e TS, dimostra che il quadrato costruito su TS è il quadruplo del rettangolo di lati congruenti ad $A B$ e $B O$.
Da un punto A esterno a una circonferenza di centro O traccia le tangenti $A T$ e $A S$. Detto $B$ il punto di intersezione tra $A O$ e TS, dimostra che il quadrato costruito su TS è il quadruplo del rettangolo di lati congruenti ad $A B$ e $B O$.
4
punti
Livello 0
Osserva che i triangoli ATO ed ASO sono triangoli rettangoli congruenti fra loro.
Vale per essi il 2° teorema di Euclide, quindi per esse possiamo scrivere:
TB^2=AB*BO
BS^2=AB*BO
----------------(sommo)
TB^2+BS^2=2AB*BO
ma
TB^2+BS^2= (TB+BS)^2-2*TB*BS
TB^2+BS^2= TS^2-2*TB^2
(essendo BS=TB per la congruenza suddetta)
Quindi TS^2-2*AB*BO=2*AB*BO
Quindi concludendo:
TS^2=4*AB*BO
115473
punti
Genius III
La diagonale minore d = |TS| dell'aquilone ASOT formato giustapponendo per l'ipotenusa due triangoli rettangoli di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
la cui diagonale maggiore è c = |AO|, è il doppio dell'altezza h = a*b/c: d = 2*a*b/c.
Si ha
* a = |OS| = |OT| si proietta su p = |BO| = a^2/c
* b = |AS| = |AT| si proietta su q = |AB| = b^2/c
* p + q = c
---------------
L'esercizio 135 pone la tesi
* (2*a*b/c)^2 = 4*(b^2/c)*(a^2/c)
che, in base a quanto osservato prima, risulta patentemente vera.
QED
57798
punti
Genius I