curve tangenti

Le funzioni (parabole) hanno lo stesso valore nel punto richiesto ed hanno pure nello stesso punto la stessa derivata:

y = x^2 + a·x + b----> y' = 2·x + a

y = c·x - x^2----> y' = c - 2·x

Quindi devi scrivere un sistema lineare di 3 equazioni nelle incognite a b e c:

{0 = 1^2 + a·1 + b

{0 = c·1 - 1^2

{2·1 + a = c - 2·1

Quindi:

{a + b = -1

{c = 1

{a = c - 4

Risolvi: [a = -3 ∧ b = 2 ∧ c = 1]

Quindi le due funzioni:

y = x^2 - 3·x + 2

y = x - x^2

Sono date due famiglie di parabole
* Γ1(a, b) ≡ y = x^2 + a*x + b
* Γ2(c) ≡ y = c*x - x^2
con assi di simmetria paralleli all'asse y, tutte congruenti avendo apertura unitaria (ma opposta: le Γ1 concave verso y > 0, le Γ2 verso y < 0) e con pendenze
* m1(a, b) = 2*x + a
* m2(c) = c - 2*x
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Per trovere una Γ1 e una Γ2 tangenti in T(1, 0), quindi con la tangente t comune, esse
a) ci devono passare: (0 = 1^2 + a*1 + b) & (0 = c*1 - 1^2)
b) e con pari pendenza: 2*1 + a = c - 2*1
Il sistema dei tre vincoli
* (0 = 1^2 + a*1 + b) & (0 = c*1 - 1^2) & (2*1 + a = c - 2*1) ≡
≡ (b = - (a + 1)) & (c = 1) & (2*1 + a = 1 - 2*1) ≡
≡ (a = - 3) & (b = - (- 3 + 1) = 2) & (c = 1)
quindi
* Γ1 ≡ y = x^2 - 3*x + 2
* Γ2 ≡ y = x - x^2
* m = - 1
* t ≡ y = 1 - x
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D1-x%2Cy-2%3Dx%5E2-3*x%2Cy%3Dx-x%5E2%5D