Crescono o calano

Question

In una coltura batterica di laboratorio sono presenti inizialmente 250 batteri. Supponiamo:

La velocità di crescita giornaliera del numero $n$ di batteri nella coltura, cioè il numero di nuovi batteri al giorno, sia proporzionale al numero di batteri presenti nella coltura, con costante di proporzionalità
$k=\frac{3}{2}$
La velocità di decrescita giornaliera del numero $n$ di batteri nella coltura, cioè il numero di batteri morti al giorno, sia mantenuta costante ht a 300 .
Scrivi un equazione differenziale per la funzione $n(t)$, essendo $t$ il numero di giorni trascorsi dall'inizio del proceson di coltura, e risolvila.
Determina il numero di batteri dopo 4 giorni.

Aiutatemi per favore

Autore

Risposta

Alfonso3

(@alfonso3)

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17/03/2022 01:16

nik · Accepted Answer

a)dalle velocità ricaviamo:

dn/dt = n*3/2 - 300

b) ---> posto x = n -300*2/3 -.--> n=x +200 ---> dx/dt = dn/dt --->

dx/dt = 3x/2 +300 - 300 = 3x/2 --> dx/3x = dt/2

--> dx/x = 3dt /2

quindi integrando indef. ---> lnx = 3*(t+k')/2

e elevando

x(t) = e^(3t/2)*e^(3k'/2) ---> k'' = e^(3k'/2) --> integrale gener. ---> n(t) = e^(3t/2)*k'' +200 ---> n(0) = e^(3*0/2)*k'' +200---> 250 = 1*k'' +200 ---> k'' = 50

quindi l'integrale particolare è:

n(t) =50e^(3t/2) + 200

c)

n(4) = 50*e^(3*4/2) + 200 = 20371.439... = ~20371

.... crescono ... e al primo giorno (t=1)

n(1) = 50*e^(3*1/2) + 200 = 424.0844...

nik

(@nik)

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17/03/2022 12:30

[Risolto] Crescono o calano

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