[Risolto] Crescere e decrescere di una successione

Per cominciare, essendo una successione, mi sa che $n$ deve appartenere all'insieme del numeri naturale $N$ e non all'insieme dei numeri reali $R$. Questa è la prima imprecisione importante nel testo, spero che sia soltanto una svista.

facciamo la lista:

$n=1$ --> $a_1=4/3$

$n=2$ --> $a_2=7/5$

$n=3$ --> $a_3=12/7$

La tendenza è a crescere, quindi supponiamo che la successione sia crescente. Proviamo a dimostrare che il termine $a_{n+1}>a_n$

$\frac{(n+1)^2+3}{2(n+1)+1}> \frac{n^2+3}{2n+1}$

dove sopra al segno $>$ ci devi pensare un punto interrogativo.

Svolgendo:

$\frac{n^2+2n+4}{2n+3}> \frac{n^2+3}{2n+1}$

Adesso moltiplicando a destra e sinistra (i termini sono positivi, quindi non ci sono problemi sul verso della disequazione):

$(n^2+2n+4)(2n+1)>(n^2+3)(2n+3)$

Svolgendo i conti risulta

$2n^2+4n>5$ oppure $2n^2+4n-5>0$

queste disequazione è chiaramente vera per ogni $n$. Se non sei convinto puoi calcolare il $\Delta$ dell'equazione di secondo grado associata, ovvero

$2n^2+4n-5=0$

e verificare che $\Delta=56$ e le soluzioni sarebbero entrambe negative, ma $n$ è soltanto positivo, quindi la disequazione è verificata.

Avendo trovato che la disequazione finale è VERA per ogni $n$, significa che anche la disequazione di partenza $a_{n+1}>a_n$ è VERA per ogni $n$ e quindi si può concludere che la successione è crescente.