equazione fratta

la parte "difficile" di questa equazione è la scomposizione di x^2 + 6bx +8b^2 

ti faccio notare che x^2 + 6bx + 9b^2 = (x+3b)^2 

quindi il nostro denominatore sarà (x+3b)^2 - b^2  , e quindi possiamo usare la formula per la differenza tra due quadrati per ottenere (x+4b)(x+2b)

il denominatore comune sarà quindi 4(x+2b)(x+4b) con C.E : x diverso da -2b e -4b

(ti scrivo solo i numeratori, visto che tanto poi il denominatore si toglie)

5(x+2b)(x+4b) - 4(x+3b)(x+4b) = 4(2b-x)(x+2b) + 2bx

svolgiamo le moltiplicazioni:

5x^2 +30bx +40b^2 - 4x^2 -28bx -48b^2 = 16b^2 - 4x^2 + 2bx

sommiamo tutti i monomi simili:

5x^2 -24b^2 = 0

5x^2=24b^2 

x^2= 24b^2/5

x= + o - radice(24b^2/5) = 2b*radice(6)/radice(5) = 2b*radice(30)/5

A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* 5/4 - (x + 3*b)/(x + 2*b) = (2*b - x)/(x + 4*b) + b*x/(2*(x^2 + 6*b*x + 8*b^2)) ≡
≡ 5/4 - (x + 3*b)/(x + 2*b) - ((2*b - x)/(x + 4*b) + b*x/(2*(x^2 + 6*b*x + 8*b^2))) = 0 ≡
≡ 5/4 - (x + 3*b)/(x + 2*b) + (x - 2*b)/(x + 4*b) - b*x/(2*(x^2 + 6*b*x + 8*b^2)) = 0
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B) Sommare le quattro frazioni a primo membro.
* 5/4 - (x + 3*b)/(x + 2*b) + (x - 2*b)/(x + 4*b) - b*x/(2*(x^2 + 6*b*x + 8*b^2)) = 0 ≡
≡ (5*x^2 - 24*b^2)/(4*x^2 + 24*b*x + 32*b^2) = 0
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C) Fattorizzare.
* (5*x^2 - 24*b^2)/(4*x^2 + 24*b*x + 32*b^2) = 0 ≡
≡ (5/4)*(x^2 - (24/5)*b^2)/(x^2 + 6*b*x + 8*b^2) = 0 ≡
≡ (5/4)*(x + √(24/5)*b)*(x - √(24/5)*b)/((x + 4*b)*(x + 2*b)) = 0 ≡
≡ (x + √(24/5)*b)*(x - √(24/5)*b)/((x + 4*b)*(x + 2*b)) = 0
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D) Discutere e risolvere.
Per x non in {- 4*b, - 2*b}, valori che annullano il denominatore, la frazione è zero là dove lo è il numeratore cioè in
* x = ± √(24/5)*b
Quindi si devono escludere le radici delle equazioni
* - √(24/5)*b = - 4*b ≡ b = 0
* - √(24/5)*b = - 2*b ≡ b = 0
* + √(24/5)*b = - 4*b ≡ b = 0
* + √(24/5)*b = - 2*b ≡ b = 0
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E) Formulare la risposta.
Se b = 0 l'equazione perde significato.
Se b != 0 l'equazione ha due radici opposte: x = ± √(24/5)*b.
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F) Verificare con altri mezzi.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+5%2F4-%28x%2B3*b%29%2F%28x%2B2*b%29%3D%282*b-x%29%2F%28x%2B4*b%29%2Bb*x%2F%282*%28x%5E2%2B6*b*x%2B8*b%5E2%29%29+for+x+real
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NB
* √(24/5) = 2*√(6/5) = 2*√30/5, che è com'è scritto il risultato atteso.