[Risolto] Costruzione formula risolutiva

A1=3·x·2·x = 6·x^2

A2=5·x·2·x = 10·x^2

A3=7·x·2·x = 14·x^2

A4=9·x·2·x = 18·x^2

La progressione delle aree è una progressione aritmetica. La ragione è d = 4·x^2

L'ennesimo termine della progressione è:

An = A1 + (n - 1)·d = 6·x^2 + (n - 1)·(4·x^2) = 2·x^2·(2·n + 1)

La somma S di n termini vale:

Sn=(A1+An)/2*n-----> Sn = 2·n·x^2·(n + 2)

Verifichiamo:

n=2-----> S2= 2·2·x^2·(2 + 2) = 16·x^2

n=3-----> S3 = 2·3·x^2·(3 + 2) = 30·x^2 

n=4-----> S4= 2·4·x^2·(4 + 2) = 48·x^2

OK!

La torre di "Hai noi"  😓😢

La favola inventata nel 1883 dal matematico francese Edouard Lucas (per illustrare il gioco, da lui inventato, della Torre di Brahma poi da altri rinominata di Hanoi) è
«Nel grande tempio di Benares, sotto la volta che segna il centro del mondo, vi è un piatto d'ottone su cui sono fissati tre perni di diamante, ciascuno alto un cubito e dello stesso spessore del corpo di un'ape. Su uno di questi perni, al momento della creazione, Dio mise sessantaquattro dischi d'oro puro, il più grande appoggiato al disco di ottone e via via gli altri sempre più piccoli. E' la torre di Brahma. Giorno e notte, incessantemente, i sacerdoti trasferiscono i dischi da un perno di diamante a un altro secondo le fisse ed immutabili leggi di Brahma, le quali richiedono che il sacerdote al lavoro non muova più di un disco alla volta e che egli debba porre questo disco su un perno in modo che sotto di esso non vi sia un disco più piccolo. Quando i sessantaquattro dischi saranno trasferiti in questo modo dal perno su cui Dio li aveva messi al tempo della creazione a uno degli altri perni, torre, tempio e bramini si ridurranno in polvere e il mondo svanirà in un colpo di tuono.»
---------------
* un cubito romano ~= 444 mm
* un cubito egizio ~= 524 mm
* spessore del corpo di un'ape ~= 6/7 mm
------------------------------
Nella tua domanda ci sono varie imprecisioni che brevemente ti elenco, anche se poi darò risposta alla lettera del tuo quesito.
1) Non si può chiamare "Torre di Hanoi" quella di soli otto dischi, la T(8); Torre di Hanoi è il nome della T(64).
2) La Torre di Hanoi è un gioco di pazienza, non un rompicapo matematico.
3) L'esercizio nomina due volte "l'area totale" e in nessuna delle due specifica che si tratta dell'area "dei rettangoli visti nella proiezione ortogonale mostrata in figura", anzi dice che si tratta dell'area totale della Torre di Hanoi cioè del solido costituito dai dischi sovrapposti.
------------------------------
PROBLEMA
"come dovrei costruire la formula per ottenere l area di una torre con enne rettangoli"
---------------
Definisco una successione di rettangoli r(k) tutti di pari altezza
* h = 2*x
e le cui basi b(k) sono nella successione aritmetica definita da
* (b(1) = 3*x) & (b(k + 1) = b(k) + 2*x)
cioè
* b(k) = (2*k + 1)*x
L'area a(k) del rettangolo d'indice k è
* a(k) = h*b(k) = 2*x*(2*k + 1)*x = (4*k + 2)*x^2
e quella "di una torre con enne rettangoli" è
* A(n) = Σ [k = 1, n] a(k) =
= (x^2)*Σ [k = 1, n] (4*k + 2) =
= (x^2)*(Σ [k = 1, n] (4*k) + Σ [k = 1, n] (2)) =
= (x^2)*(4*Σ [k = 1, n] (k) + 2*Σ [k = 1, n] (1)) =
= (x^2)*(4*n*(n + 1)/2 + 2*n) =
= 2*n*(n + 2)*x^2