Buongiorno a tutti. Ho difficoltà con le serie.
Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\left(\frac{x+1}{2}\right)^n .
$$
Non riesco proprio a sviluppare questo esercizio.
Ringrazio in anticipo.
Buongiorno a tutti. Ho difficoltà con le serie.
Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\left(\frac{x+1}{2}\right)^n .
$$
Non riesco proprio a sviluppare questo esercizio.
Ringrazio in anticipo.
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Livello 2
8282
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Livello 6
Grazie mille davvero. È stato chiarissimo. Molto ma molto bravo. Preciso e rigoroso.
La riscrivo come S_n:1->oo a^n/n^3
Se |a| <= 1 la serie converge assolutamente perché maggiorata in modulo da S_n:1->oo 1/n^3 che converge
Altrimenti diverge perché il termine generale non é infinitesimo all'infinito
quindi - 2 <= x+1 <= 2
- 3 <= x <= 1
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Livello 7
@eidosm non mi trovo col risultato se x=-1 la serie di annulla in x=-2 la serie presenta un valore negativo elevato ad n e il limite per n che tende ad infinito di un numero negativo elevato ad n non esiste
sei d’accordo?
La serie nulla é comunque convergente. Se x = -2 esce (-1/2)^n . L'esponente n é intero per cui la potenza esiste e la serie rispetta il criterio di Leibniz