[Risolto] Convergenza puntuale e assoluta serie

Ciao @sergix

Nota prima di tutto che si tratta di una serie di potenze:

$ \sum_{n} a_n (x-x_0)^n$

dove il tuo coefficiente è:

$ a_n = \frac{(ln3)^n}{n+\sqrt[3]{n^2}}$

e il centro è $x_0 = 0$.

Troviamo il raggio di convergenza. Per farlo puoi usare il criterio del rapporto o il criterio della radice. In questo caso conviene quello della radice dato che hai una potenza n-esima:

$ lim_{n} \sqrt[n]{\frac{(ln3)^n}{n+\sqrt[3]{n^2}}}$

$ lim_{n} \frac{ln3}{\sqrt[n]{n+\sqrt[3]{n^2}}}$

Nota che al denominatore hai:

$lim_n = (n+n^\frac{2}{3})^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{ln(n+n^{2/3}}{n}}=e^{0}=1$

Quindi 

$ lim_{n} \frac{ln3}{\sqrt[n]{n+\sqrt[3]{n^2}}} = ln3$

Il raggio di convergenza è dunque:

$ R = 1/l = \frac{1}{ln3}$

Per il teorema di Abel sappiamo che:

- La serie converge puntualmente $\forall x tc |x-x_0|<R$, dunque in (-R,R). 

- La serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in (-R, R)

- Non converge fuori dall'intervallo (-R,R).

Cosa succede per $x= R$? Vediamo:

Per $x = \pm 1/ln3$ abbiamo:

$\sum_n \frac{(ln3)^n}{n+\sqrt[3]{n^2}} (\pm ln3)$

la serie diverge perché il termine n-esimo non tende a 0 (l'esponenziale ha un ordine di infinito maggiore del denominatore).

Noemi