Stabilire se le seguenti funzioni sono uniformemente continue mediante la definizione.
(i) $f(x)=\frac{1}{x⁴}$ in $(0,3)$;
(ii) $f(x)=x^4$ in $[4,+\infty)$;
(iii) $f(x)=\sin (x⁴)$ in $[0,3π]$;
(iv) $f(x)=e^{-4x}$ in $[0,+\infty)$.
Nota: Una funzione $f: D \to \mathbb{R}$ è uniformemente continua se $\forall \epsilon >0 \exists \delta : \forall x_1, x_2 \in D |x_1-x_2|<\delta \implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.
Ho difficoltà principalmente nelle disuguaglianze per il punto $(iii)$.
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Livello 6
Ho risolto con il teorema di Lagrange alla fine ;). Lascio il quesito aperto per chi vuole divertirsi.
@rebc Potresti caricare la soluzione? Grazie mille
@fede-uwu Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet...
Per i punti (i), (ii), (iv) ti rimando alla pagina, divina, di YouMath sulla continuità uniforme, precisamente all'esempio finale.
Il punto (iii) l'ho risolto come segue:
Dalla definizione si deve avere $|f(x)-f(y)|=|\sin (x⁴) - \sin (y⁴)|<\epsilon$; pensando a ciò che è richiesto per l'uniforme continuità, ossia la condizione sul delta nella parte precedente all'implicazione, è necessario riscrivere il tutto isolando un $|x-y|$. Ciò è possibile grazie al teorema di Lagrange dato che la funzione in questione rispetta le ipotesi: $f'(c)(y-x)=f(y)-f(x)$. La derivata $f'(x)=4x³\cos (x⁴)$ nell'intervallo considerato può avere come valore massimo $4(3π)³(1)=108π³$.
Si ottiene dunque: $|f(x)-f(y)|=|\sin (x⁴) - \sin (y⁴)|≤|x-y|(108π³)<\epsilon' \implies |x-y|<\frac{\epsilon '}{108π³}=\delta$. Il delta cercato è dunque $\delta=\frac{\epsilon '}{108π³}$, ciò implica che la funzione è uniformemente continua.
L'edizione del 1670 dell'Arithmetica di Diofanto di Alessandria include a margine il commento di Fermat, in latino, che espone il teorema (Observatio Domini Petri de Fermat).
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet...
«Ho una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non entra nel margine stretto della pagina.»
"Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duso eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet"
Liberamente traducibile come: "E' impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina."
Uniforme continuità di sin(x^4) in [0,3π]
Per ragioni di semplicità anziché utilizzare i termini x(1) e x(2), ho usato x e y.
Potrebbe essere un metodo risolutivo del 3° quesito?
![Uniforme continuità di sin(x^4) in [0,3π] 1](https://www.sosmatematica.it/forum/forofile/thumb/c855e702c7028d7c1b8391352051bbcc/ "Uniforme continuità di sin(x^4) in [0,3π] 1")
![Uniforme continuità di sin(x^4) in [0,3π] 2](https://www.sosmatematica.it/forum/forofile/thumb/9eaeb5ac1735797d2168facacefb3243/ "Uniforme continuità di sin(x^4) in [0,3π] 2")
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Livello 8
@gregorius grazie mille per la risposta~ L'approfondimento sulle funzioni lipschitziane è molto utile.
