Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ f(x) = \frac{\sqrt{ax^2+1}}{x+b} $
i) x ≠ b ⇒ x ≠ -2 ⇒ b = 2
ii) $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{ax^2+1}}{x+2} = -3 $
dividiamo numeratore e denominatore per x. Osserviamo che il limite è per x→-∞; occorre ricordarsi del meno oppure, metodo più tranquillo un bel cambio di variabile ponendo y = -x. Sceglieremo il primo metodo per risparmiare tempo e scritto.
$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{ax^2+1}}{x+2} = -3 $
$ = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{a+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x^2}} = -3 $
$ = -\sqrt{a} = -3 \; ⇒ \; a = 9 $
La funzione è
$ f(x) = \frac{\sqrt{9x^2+1}}{x+2} $
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Livello 6