[Risolto] Continuità

Vado rapidamente sullo studio di funzione:

• Dominio: $x^2-4\geq 0 \rightarrow x\leq -2 \vee x \geq +2$
• Intersezioni: nessuna
• Segno: risolvendo l'irrazionale $\sqrt{x^2-4} \geq x+1$ si ottiene che la funzione è positiva per $x\leq -2$
• Asintoti verticali: nessuno
• Asintoti orizzontali: 
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2-4}-x-1) = \sqrt{+\infty}+\infty-1 = +\infty$

  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} (\sqrt{x^2-4}-x-1) =$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2-4-(x+1)^2}{\sqrt{x^2-4}+(x+1)} =$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-5-2x}{\sqrt{x^2-4}+(x+1)} =$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-2x}{\sqrt{x^2}+x}=$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-2x}{x+x} = -1$

Dunque abbiamo l'asintoto $y=-1$ 

• Asintoti obliqui:
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2-4}-x-1}{x} =$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2}-x}{x} =$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{|x|-x}{x} =$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-x-x}{x} = -2 = m$

  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2-4}-x-1 +2x)=$
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2-4}+x-1)= $
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (|x|+x-1)= $
  $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} (-x+x-1)= -1 = q$

Dunque abbiamo l'asintoto obliquo $y=-2x-1$

Sapendo inoltre che $f(-2)= 1$ e $f(2)=-3$ possiamo tracciare il grafico:

Notiamo che la funzione $y=\sqrt{f(x)-2}$ è la funzione $f(x)$ traslata di $2$ verso il basso. Poiché il dominio di $y$ richiede che $f(x)-2>0$, notiamo che può esserlo solo per valori x\leq x_1$ con $x_1$ da determinare. Vediamo dove la funzione si annulla:

$\sqrt{x^2-4}-x-1-2 = 0$

$\sqrt{x^2-4}=x+3$

$x^2-4 = x^2+6x+9$
$6x = -13$

$x = -\frac{13}{6}$

Dunque il dominio sarà $x\leq -\frac{13}{6}$

Chiediamo ora che anche per $g$ l'asintoto sia $y=-2x-1$ ponendo:

$-2=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{ax^2+bx-3}{2-x}\cdot \frac{1}{x}$
$-2=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{ax^2+bx-3}{2x-x^2}$

$-2=\displaystyle -a$

$a=2$

E per la $q$:

$-1=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^2+bx-3}{2-x}+2x$
$-1=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{2x^2+bx-3+4x-2x^2}{2-x}$
$-1=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{bx-3+4x}{2-x}$
$-1=-b-4$

$b=-3$

Lascio a te lo studio di funzione di $g$, questo è il grafico:

Nota che la funzione $g$ ha asintoto verticale $x=2^+$

La funzione $y=f(x)-g(x)$ è continua nell'intervallo $]2,3]$, inoltre abbiamo che:

$\lim_{x\rightarrow 2^+} f(x)-g(x)=-3-(+\infty)=-\infty$

e 

$y(3)=f(3)-g(3)=(\sqrt{5}-4)- (-6) > 0$

Poiché la funzione assume valori opposti agli estremi, ammette almeno uno zero in $]2,3]$