Continuità

a. 

a.1 Asintoto orizzontale sinistro di equazione y = 2

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{1-\sqrt{ax^2+1}}{x} = $ 

divido sopra e sotto per x. In questo caso occorre ricordare che le x sono negative quindi occorre moltiplicare per - 1 la radice

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{1}{x} + \sqrt{a + \frac{1}{x^2}}}{x} = $

$ \sqrt{a} = 2  \; ⇒ \; a = 4 $

a.2 Continua in x = 0 

Pe essere continua b deve essere pari al limite per x→0

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0 $

quindi b = 0.

b. Numeratore è una funzione  pari, il denominatore dispari. La f(x) è quindi dispari.

Se preferisci puoi dimostrare che f(-x) = -f(x).

c.  Grafico

https://www.desmos.com/calculator/loznxkqxfn

d. Consideriamo la funzione h(x) definita come 

$ h(x) = f(x) -x-1$

La funzione è continua nell'intervallo [-1,0], in più

• $ h(-1) = \frac{1-\sqrt{4+1}}{-1} + 0 = \sqrt{5} - 1 > 0 $ Assume quindi un valore positivo.
• $ h(0) = 0 -0 -1 $ che è un valore negativo.

Essendo la funzione h(x) continua, per il teorema degli zeri (Bolzano) esiste almeno un punto x₀ dove la funzione si annulla, cioè

h(x₀) = 0

f(x₀) = x₀ + 1

quindi esiste x₀∈(-1, 0)  che è la soluzione dell'equazione.