Considera la funzione $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+a & x<-2 \\ -\sqrt{a^2-x^2} & -2 \leq x \leq 2 \\ 2+\sqrt{x^2-4} & x>2\end{array}\right.$
a. Determina $a \in R$ in modo che sia continua per $x=-2$.
b. Traccia il grafico della funzione, studiando in particolare eventuali punti singolari e determinando eventuali asintoti.
c. Discuti, al variare di $k$, l'esistenza e il numero di soluzioni dell'equazione $f(x)=k$.
d. Stabilisci in quali dei seguenti intervalli la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass:
$$
[-3,-1][-1,1][1,3][2,4]
$$
e determina il minimo e il massimo della funzione in tali intervalli. Stabilisci infine se, negli intervalli dove le ipotesi del teorema non sono soddisfatte, la funzione ammette minimo e/o massimo.
[a. $a=2$; b. $x=2$ : punto di salto; $y=x+2$ : asintoto obliquo destro; c. una soluzione per $k<-2 \vee k>2$, tre soluzioni per $-2 \leq k<0$ (di cui due coincidenti per $k=-2$ );
d. due soluzioni per $k=0$; nessuna soluzione per $0<k \leq 2$ ]
Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.
