Continuità

$ y = ln(\frac{x^2+1}{x^2-1})$

• Dominio = (-∞, -1) U (1, +∞)

Infatti, visto il logaritmo, il suo argomento deve essere positivo.

Si hanno due possibilità

1. Se x²-1 > 0 cioè x < -1 V x > 1 allora l'argomento (x²+1)/(x²-1) > 0 ⇒ x² > -1. Vera per x < -1 V x > 1
2. Se invece x²-1 < 0 cioè  -1 < x < 1 allora l'argomento (x²+1)/(x²-1) > 0 ⇒ x² < -1. Falsa.

Il dominio è così (-∞, -1) U (1, +∞)

• • due punti di discontinuità x = -1; e x = 1

• Simmetria. La funzione y(x) è pari. Segue dalla definizione.

• Segno
  • La funzione assume solo valori positivi laddove definita.

Infatti, l'argomento del logaritmo è maggiore di 1 in tutto il dominio. 

$ \frac{x^2+1}{x^2-1} > 1 \; ⇒ \; x^2+1 > x^2 -1 \; ⇒ \; 1 > -1 $      Vera in tutto il Dominio.

• Asintoti 
  • Verticali 
    • per x = -1
      • $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty $

Si tratta di un asintoto verticale sinistro di equazione x = -1

• • • per x = 1
      • $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = +\infty $

Si tratta di un asintoto verticale destro di equazione x = 1

• • Orizzontali
    • • $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = e^0 = 1 $

Si tratta di un asintoto orizzontale di equazione y = 0

• Punti di discontinuità
  • Il punto x = -1 è una discontinuità di seconda specie
  • Il punto x = 1 è una discontinuità di seconda specie

• Grafico