COntinuità

$ y(x) = \frac{x^3+1}{x^2-x-2} = \frac{x^3+1}{(x-2)(x+1)} $

• Dominio = ℝ\{-1, 2}
  • Due punti di discontinuità x = -1  e x = 2
• Simmetrie. Ne pari ne dispari. punti di discontinuità non simmetrici
• Segno

______-1_________2_____

---------0++++++++++++   x³+1

---------X++++++++++++   /(x+1)

-----------------------X++++    x-2

--------X--------------X++++    y(x)

1. y(x) < 0   in(-∞, -1) e in (-1, 2)
2. y(x) = 0    Ø
3. y(x) > 0   in (2, +∞)

• Asintoti
  • Verticali
    • x = - 1
      • $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = -1$
      • $\displaystyle\lim_{x \to -2^+} y(x) = -1$

Si tratta di una discontinuità di 3° tipo o eliminabile. Nessun asintoto verticale.

• • • x =  2
      • $\displaystyle\lim_{x \to  2^-} y(x) = -\infty$
      • $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = +\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 2

• • Obliqui
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = 1$
    • $ q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) - x  = 1$

Si tratta di un asintoto obliquo di equazione y = x + 1

• punti di discontinuità
  • x = - 1 eliminabile o 3° tipi
  • x = 2 di secondo tipo.

• Grafico