Continuità

$ y(x) = \frac{x^3+1}{x^2+2x-3} = \frac{x^3+1}{(x+3)(x-1)} $

• Dominio = ℝ\{-3, 1}
  • Due punti di discontinuità x = -3 e x = 1

• Simmetria. I due punti di discontinuità non sono simmetrici rispetto all'origine. Ne pari, ne dispari

• Segno

______-3_______-1______1_____

---------------------0++++++++++   x³+1

--------X+++++++++++++++++   x+3

-------------------------------X++++    x-1

-------X++++++0----------X++++    y(x)

1. y(x) < 0  in (-∞, -3) e in (-1, 1)
2. y(x) = 0  per x = -1
3. y(x) > 0  in ((-3, -1) e in (1, +∞)

• Asintoti
  • Verticali
    • per x = -3 
      • $\displaystyle\lim_{x \to -3^-} y(x) = -\infty$
      • $\displaystyle\lim_{x \to -3^+} y(x) = +\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = -3

• • • per x = 1 
      • $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = -\infty$
      • $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = +\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 1

• • Obliqui    (grado del polinomio al numeratore eguale a 3, al denominatore 2, ci aspettiamo un asintoto obliquo)
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = 1$
    • $ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) - x = -2$

Si tratta di un asintoto orizzontale di equazione y = x - 2 

• Grafico