Continuità

$ y(x) = \frac{x^3+1}{x^2-4} = \frac{x^3+1}{(x-2)(x+2)} $

• Dominio = ℝ\{-2, 2}
  • Due punti di discontinuità x = ±2
• Simmetrie. Ne pari ne dispari. Un solo zero ma fuori dall'origine
• Segno

______-2_____-1______2_____

------------------0++++++++++   x³+1

--------X+++++++++++++++    x+2

----------------------------X++++    x-2

-------X+++++0---------X++++    y(x)

1. y(x) < 0   in(-∞, -2) e in (-1, 2)
2. y(x) = 0   per x = -1
3. y(x) > 0   in (-2, -1) e in (2, +∞)

• Asintoti
  • Verticali
    • x = - 2
      • $\displaystyle\lim_{x \to -2^-} y(x) = -\infty$
      • $\displaystyle\lim_{x \to -2^+} y(x) = +\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = -2

• • • x =  2
      • $\displaystyle\lim_{x \to  2^-} y(x) = -\infty$
      • $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} y(x) = +\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 2

• • Obliqui
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = 1$
    • $ q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) - x  = 0$

Si tratta di un asintoto obliquo di equazione y = x

• I punti di discontinuità sono entrambi di 2° specie.

• Grafico