[Risolto] CONICHE E FUNZIONI

Problema:

Determina le equazioni delle funzioni rappresentate:

Soluzione:

È possibile notare, senza alcun calcolo, che le funzioni A e C sono derivate da ellissi con fuochi sull'asse delle ordinate, la funzione B da un'ellisse con fuochi sull'asse delle ascisse e la funzione D da una circonferenza.

(A) L'ellissi generica che presenta i fuochi sull'asse delle ordinate è descritta da $Γ: \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1$, ove $a$ rappresenta il semiasse non trasverso, quello che non presenta alcun fuoco, e $b$ quello trasverso. Nel caso in questione la funzione è una semi-ellisse negativa ed è dunque definita dall'equazione, ricavata utilizzando y come incognita, $f(x)=-\sqrt{{b²-\frac{b²x²}{a²}}}$. Sostituendo si ottiene dunque: 

$f(x)=-\sqrt{{(-6)²-\frac{(-6)²x²}{(4)²}}}$.

(B) Il procedimento è analogo a quello riportato nel punto A, ma con $a$ che rappresenta il semiasse trasverso e $b$ che rappresenta il semiasse non trasverso. Poiché la funzione è una semi-ellisse positiva si ha che $f(x)=+\sqrt{{b²-\frac{b²x²}{a²}}}$ ossia, sostituendo, $f(x)=+\sqrt{{(2)²-\frac{(2)²x²}{(-4)²}}}$.

(C) Il procedimento è analogo a quello presente nel punto A, ma va considerata $f(x)=+\sqrt{{b²-\frac{b²x²}{a²}}}$, ove $b$ rappresenta il semiasse trasverso ed $a$ il semiasse non trasverso.

$f(x)=+\sqrt{{(6)²-\frac{(6)²x²}{(-4)²}}}$.

(D) In questo caso la funzione rappresenta una semicirconferenza, la sua equazione è determinabile, nel medesimo modo mostrato nel punto A, dall'equazione generale della circonferenza $π:(x-x_0)²+(y-y_0)²=r²$ , ove $x_0$ ed $y_0$ rappresentano le coordinate cartesiane del centro; essa è dunque definita da $f(x)=+\sqrt{r²-(x-x_0)²} +y_0$.

Dall'immagine è possibile dedurre che il centro coincide con O(0;0) e che il raggio misura 4. Si ha dunque: $f(x)=+\sqrt{(4)²-(x)²}$.