Propongo una semplice dimostrazione della congettura di Collatz. Troppo semplice per essere vera. Chiedo aiuto per trovare gli errori.
(1) L’insieme dei numeri naturali (dominio della funzione n/2 per n pari e 3n+1 per n dispari) si può suddividere in quattro sottoinsiemi: uno per i numeri dispari (2n-1) e tre per i numeri pari 6n-4, 6n-2 e 6n. Applicando la funzione di Collatz ai numeri dispari 2n-1 si ottengono numeri pari della forma 6n-2. Infatti, 3(2n-1)+1 = 6n-2. Vale anche la relazione inversa (6n-2-1)/3 = 2n-1. Pertanto, per ogni numero pari della forma 6n-2 esiste solo un numero dispari 2n-1 e viceversa.
(2) Utilizzando la relazione tra i numeri dispari 2n-1 e i numeri pari 6n-2 descritta nel precedente punto (1), si costruisce una tabella con le seguenti regole: inizia con il numero 8, posto al vertice della prima colonna; gli elementi delle successive colonne sono dati dai numeri pari ottenuti moltiplicando per 2 i numeri della colonna precedente e dai numeri dispari ottenuti dalla relazione (6n-2-1)/3 per ognuno dei numeri pari della forma 6n-2 della colonna in costruzione. C(1) =8 - -> C(2)=16,5 - -> C(3)=32,10,3 - -> C(4)=64,20,6,21 - -> C(5)=128,40,12,42,13 - -> C(6)=256,80,24,84,26,85 - -> C(7)=512,160,48,168,52,170,53,17 e così via.
(3) Si può notare che ogni colonna della tabella presenta un numero finito di elementi, mentre ogni riga ne ha un numero infinito. Inoltre, ogni colonna ha un numero di elementi superiore a quelli della colonna precedente, causato dall’aggiunta dei numeri dispari nella parte finale della colonna. La tabella contiene tutti i numeri naturali, tranne 1, 2, 4. Infatti, dai numeri dispari divisibili per 3 moltiplicati per potenze crescenti di 2 si ottiene il sottoinsieme dei numeri pari della forma 6n; dai numeri dispari non divisibili per 3 moltiplicati per potenze crescenti di 2 si ottengono i sottoinsiemi dei numeri pari 6n-2 e 6n-4. Gli elementi di questi ultimi due sottoinsiemi si alternano, dopo un numero della forma 6n-2 è sempre presente un numero della forma 6n-4 e viceversa. Infatti, 2(6n-2) = 12n - 4 = 6(2n) - 4 e 2(6n - 4) = 12n- 8 + 6 - 6 = 6(2n - 1) -2.
(4) I numeri naturali presenti nelle colonne da C(1) alla generica C(n) della tabella sono necessari e sufficienti per generare, mediante la funzione di Collatz, tutte le possibili sequenze che comprendono il numero 1, a partire da un qualsiasi numero naturale n presente nelle colonne da C(1) a C(n), senza cicli (eccetto 1,2,4,1) o crescite indefinite del valore numerico, perché la relazione che lega i numeri dispari 2n-1 e i numeri pari della forma 6n-2 permette di costruire la tabella senza duplicazioni e con valori finiti.
(5) Per il principio di induzione, se una proprietà P(n), dipendente da una variabile intera n, vale per n=1 e se per ogni numero naturale n, la proprietà P(n) implica la proprietà P(n+1) allora P(n) vale per tutti i numeri naturali.
Definita la seguente proprietà: P(C(n)) = la sequenza dei numeri generati dalla funzione di Collatz converge a 1 per qualsiasi numero naturale n appartenente alla colonna C(n) della tabella descritta nei precedenti punti da (1) a (4).
La proprietà P(C1) è valida in quanto nella colonna C(1) è presente solo il numero 8 che converge a 1 (8,4,2,1).
La proprietà P(C(n)) implica P(C(n+1)) perché i valori numerici pari di C(n+1) sono il doppio dei corrispondenti valori numerici della colonna C(n) e i valori numerici dispari della colonna C(n+1) sono correlati ai numeri pari della medesima colonna, determinati dalla menzionata relazione tra i numeri dispari 2n-1 e i numeri pari della forma 6n-2. Quindi se convergono a 1 i numeri della colonna C(n) allora convergono a 1 anche i numeri della colonna C(n+1). Pertanto, la proprietà è valida per tutte le C(n).
Considerato infine che la tabella contiene tutti i numeri naturali, tranne 1,2,4 che convergono a 1, si può concludere che le sequenze numeriche generate dalla funzione di Collatz convergono a 1 per qualsiasi numero naturale n.
