[Risolto] Conferma risoluzione es. su circonferenza

Avrei potuto, procedere anche diversamente? Se sì, come?

Il fatto che la tangente è l'asse delle x significa che la coordinata yC del centro della circonferenza è pari al raggio r della circonferenza. Se indichiamo con C(xC,yC) le coordinate del centro l'equazione della circonferenza sarà del tipo

(x-a)²+(y-b)²=b²

con a,b due coefficienti reali.

 

Imponiamo il passaggio per i due punti A(0,10) e B(4,8) ricavando due equazioni nelle incognite a e b.

a²+(10-b)²=b² ← passa per A(0,10)

(4-a)²+(8-b)²=b² ← passa per B(4,8)

Il sistema ammette due soluzioni:

i) a=0 & b=5  ⇒ x²+(y-5)² = 25 cioè x²+y²-10y = 0

ii) a=40 & b=85 ⇒ (x-40)²+(y-85)²=85² cioè x²+y²-80x-170y+1600 = 0

 

Grafico.

https://www.desmos.com/calculator/pwwnwjsoad

 

 

@mirea00

Di nuovo ciao. Apprezzo la tua buona volontà, comunque penso di fare prima risolvendo il problema per conto mio e dopo confrontare con quanto mi hai esposto.

L'equazione generica delle circonferenze da cercare è:x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

Imponiamo il passaggio per i due punti:

{passa per A(0,10)

{passa per B(4,8)

quindi:

{10·b + c = -100

{4·a + 8·b + c = -80

dalla 1^ equazione: c = - 10·b - 100 poi per sostituzione:

4·a - 2·b - 100 = -80-------> b = 2·a - 10 ed indefinitiva:

[b = 2·a - 10 ∧ c = - 20·a] (c'è sempre un parametro che balla: qui ho ritenuto opportuno pensare a come costante per non portarmi appresso le frazioni)

quindi sostituisco nell'equazione della circonferenza ottenendo un'equazione nell'unico parametro a.

Quindi metto a sistema:

{x^2 + y^2 + a·x + (2·a - 10)·y  - 20·a = 0

{y=0 (asse delle ascisse)

Per sostituzione ottengo:x^2 + a·x - 20·a = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0------> a^2 + 80·a = 0 soluzioni: a = -80 ∨ a = 0

Quindi equazioni:x^2  + y^2 - 80·x- 170·y + 1600 = 0   

e                          x^2 + y^2 - 10·y = 0

Hai risolto così? Fammi sapere.

 

 

QUELLO CHE HAI SCRITTO E' SCORRETTO, anche se produce risultati corretti.
Secondo me dovresti cambiare libro, perché quello che usi ti fa male.
AVRESTI NON POTUTO, MA DOVUTO, PROCEDERE DIVERSAMENTE.
Te l'ho già scritto più volte che dovresti partire dalle proprietà geometriche, non ricavarle alla fine come optional.
Vengo al dunque.
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"tangenti all'asse delle ascisse" vuol dire che il raggio è il modulo dell'ordinata del centro
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = b^2
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"passanti per i punti A(0,10) e B(4,8)" vuol dire che il centro C(a, b) giace sull'asse di AB
* asse(AB) ≡ y = 2*x + 5
e che il raggio dev'essere la comune distanza del centro da A e B
quindi
* C(a, 2*a + 5)
* b^2 = (2*a + 5)^2
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - (2*a + 5))^2 = (2*a + 5)^2 ≡
* r = |2*a + 5| = ± √((2*a + 5)^2)
* r = |CA| = |CB| = √(a^2 + (2*a - 5)^2)
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Eguagliando le due espressioni di r si ha
* r = |2*a + 5| = √(a^2 + (2*a - 5)^2) ≡ (a = 0) oppure (a = 40)
quindi
* Γ1 ≡ x^2 + (y - 5)^2 = 25
oppure
* Γ2 ≡ (x - 40)^2 + (y - 85)^2 = 7225
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cx%5E2%3D25-%28y-5%29%5E2%2C%28x-40%29%5E2%3D7225-%28y-85%29%5E2%5D