Condizioni sul prodotto delle radici

Ciao di nuovo.

2·k·x^2 - 3·x + 1 = 0 con k ≠ 0

a = 2·k

b = -3

c = 1

Se si vogliono radici reali deve essere: Δ ≥ 0----> (-3)^2 - 8·k ≥ 0

cioè: k ≤ 9/8

a. Radici discordi

c/a<0

1/(2·k) < 0-------->k < 0   va bene

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b. X1*X2>2

c/a>2-------> 1/(2·k) > 2  -------> 0 < k < 1/4     va bene

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c.X1*X2 ≤ -1

c/a ≤ -1------> 1/(2·k) ≤ -1-----> - 1/2 ≤ k < 0 va bene

Stante la specificazione "k diverso da zero" l'equazione
* 2*k*x^2 - 3*x + 1 = 0
equivale alla forma monica
* x^2 - (3/(2*k))*x + 1/(2*k) = (x - X1)*(x - X2) = 0
in cui
* 3/(2*k) = X1 + X2 = s (somma)
* 1/(2*k) = X1 * X2 = p (prodotto)
* Δ = s^2 − 4*p = (9 - 8*k)/(4*k^2)
Le tre condizioni riguardano solo p.
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a. "Radici discordi" ≡ (Δ > 0) & (p < 0) ≡
≡ ((9 - 8*k)/(4*k^2) > 0) & (1/(2*k) < 0) ≡
≡ ((k < 0) oppure (0 < k < 9/8)) & (k < 0) ≡
≡ (k < 0) & (k < 0) oppure (0 < k < 9/8) & (k < 0) ≡
≡ (k < 0) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ k < 0
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b. "X1*X2>2" ≡ p > 2 ≡ 1/(2*k) > 2 ≡ 0 < k < 1/4
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c. "X1*X2<uguale di -1" ≡ p <= - 1 ≡ 1/(2*k) <= - 1 ≡ - 1/2 <= k < 0