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Condizione di tangenza fra due curve

  

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Determinare il valore di K per cui l'iperbole equilatera di equazione y=k/x è tangente al grafico della funzione y=x^3-3x^2

Grazie!

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Mettiamo a sistema le funzioni e le loro derivate:

{y = x^3 - 3·x^2

{y = k/x

{3·x^2 - 6·x = - k/x^2

Risolto fornisce: [x = 9/4 ∧ y = - 243/64 ∧ k = - 2187/256]

L'iperbole è: y = - 2187/(256·x)

Il punto di tangenza è: [9/4, - 243/64]

Mentre la retta tangente è:

m= y'= 3·x^2 - 6·x----> per x= 9/4---> 3·(9/4)^2 - 6·(9/4)---->  m = 27/16

quindi:

y + 243/64 = 27/16·(x - 9/4)------> y = 27·x/16 - 243/32

image




1

Deve risultare 

k/x = x^3 - 3x^2

-k/x^2 = 3x^2 - 6x 

 

x^4 - 3x^3 - k = 0

3x^4 - 6x^3 + k = 0

 

sommando 

4x^4 - 9x^3 = 0

4x^3 ( x - 9/4 ) = 0

 

x = 0 V x = 9/4 ( unica accettabile altrimenti k = 0 e la prima non é una iperbole )

sostituendo 

k = x^3 * (x - 3) = 729/64 * (- 3/4) = - 2187/256

 

https://www.desmos.com/calculator/ilqa4co0l9

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Il grafico della funzione
* f(x) = y = x^3 - 3*x^2 = (x - 3)*x^2
avendo positivo il coefficiente direttore, risulta crescente all'esterno degli estremi relativi (0, 0) e (2, - 4) e decrescente fra di essi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x-3%29*x%5E2%2Cy*%28y%2B4%29%3D0%5D
------------------------------
I grafici delle iperboli
* y = k/x ≡ x*y = k
hanno come asse trasverso, secondo il segno di k, una delle diagonali dei quadranti; quindi è ovvio che la tangenza è impossibile nei quadranti dispari, per k > 0, e se si può avere la si ha all'interno del quarto quadrante (x > 0, y < 0).
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x-3%29*x%5E2%2C%28x*y%2Bk%29*%28x*y-k%29%3D0%5Dwhere+k%3D+9
------------------------------
Con
* k = - d^2 < 0
* d/dx - d^2/x = d^2/x^2
* d/dx x^3 - 3*x^2 = 3*x^2 - 6*x
la definizione del punto T di tangenza, con le condizioni restrittive
* (x > 0) & (y < 0)
è
* T ≡ (ascissa che eguaglia le pendenze) & (ordinate eguali) ≡
≡ (d^2/x^2 = 3*x^2 - 6*x) & (- d^2/x = x^3 - 3*x^2) ≡
≡ (3*x^2 - 6*x - d^2/x^2 = 0) & (x^3 - 3*x^2 + d^2/x = 0) ≡
≡ (3*x^4 - 6*x^3 - d^2 = 0) & (x^4 - 3*x^3 + d^2 = 0) ≡
≡ (d^2 = 3*x^4 - 6*x^3) & (x^4 - 3*x^3 + 3*x^4 - 6*x^3 = 0) ≡
≡ (d^2 = 3*(x - 2)*x^3) & ((4*x - 9)*x^3 = 0) ≡
≡ (x = 9/4) & (d^2 = 3*(9/4 - 2)*(9/4)^3 = 2187/256 = 8.54296875)
da cui
* k = - 2187/256
* (x*y = - 2187/256) & (y = (x - 3)*x^2) ≡ T(9/4, - 243/64)
---------------
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D-2187%2F256%2Cy%3D%28x-3%29*x%5E2%5Dx%3D-5to5




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