[Risolto] CON IL METODO DEI FASCI, PARABOLA.

a.   Determiniamo l'equazione del fascio Γ(k).

• retta passante per A(0,1) e B(-1, 0). $ y = x+1$
• equazione parabola degenere (coppia rette passanti per A e B. x(x+1) = x²+x
• equazione fascio parabole.

$ Γ(k): y = x+1 +k( x^2+x) $ (equazione del fascio dati due punti e la retta che li unisce)

b. Corda di misura 2.

• Equazione asse delle x.  ⇒   y = 0
• Intersezione generica parabola del fascio con l'asse delle x.

$\left\{\begin{aligned}  y &= kx^2+(1+k)x +1  \\ y &= 0 \end{aligned} \right. $

Le cui due soluzioni $x_{1,2}$ sono 

$ x_{1,2} = \frac {-(1+k) \pm \sqrt{(1+k)^2 -4k}} {2k}$

La differenza tra le due soluzioni (misura della corda) deve essere 2

$ 2 = 2 \cdot \frac {\sqrt{(1+k)^2 -4k}} {2k}$

$ 2k = \sqrt{(1+k)^2 -4k}$

quadrando

$ 4k^2 = 1 -2k +k^2$

$3k^2 +2k-1 = 0$

le cui due soluzioni sono $k_1 = -1  \land k_2 = \frac{1}{3}$

⊳ per $k_1$ avremo  $y = -x^2+(1-1)x +1 = -x^2+1$

⊳ per $k_2$ avremo  $y = \frac{x^2}{3}+(1+\frac{1}{3})x +1 = \frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+1$

il fascio di parabole per due punti ha equazione

y=mx+q+k(X-Xa)(X-Xb) ove y=mx+q è la retta che passa per questi due punti

metti l'equazione del fascio a sistema con l'equazione dell'asse x e trova le coordinate dei punti di intersezione (che saranno in funzione del k), infine imponi che la distanza tra questi due punti sia uguale a 6 e trovi il valore di k, una volta sostituito al fascio ti farà ottenere la parabola in questione