[Risolto] Esercizi di aritmetica

Prima di trovare il $MCD$ cerchiamo prima i nostri divisori :

$Div$$\bigl($ $16$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$  $x$ $\in$ $N$ $|$ $x$ $|$ $16$ $\bigr\}$ $\iff$ $Div$$\bigl($ $16$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$  $x$ $\in$ $N$ $|$ $x$ $|$ $20$ $\bigr\}$ $\iff$ $Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$ $\bigr\}$

In queste formule sto considerando soltanto i divisori naturali. Analoga situazione se vengono considerati anche i negativi.

Per il calcolo del $MCD$ potremo procedere in vari modi, ma il seguente modo risulta essere quello più opportuno.

Trovare il $Max$$\bigl($ $Div$$\bigl($ $16$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$$\bigr)$,  quindi basta trovare il massimo dei comuni divisori e il gioco è fatto. Dunque:

 $MCD$$\bigl($ $20$, $16$ $\bigr)$ $=$ $Max$$\bigl($ $Div$$\bigl($ $16$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $20$ $\bigr)$$\bigr)$ $\iff$ $Max$$\bigl($ $\bigl\{$ $1$, $2$, $4$, $\bigr\}$  $\bigr)$ $=$ $4$

In conclusione il $MCD$$\bigl($ $20$, $16$ $\bigr)$ $=$ $4$.

Analoga situazione per il secondo esercizio :

$Div$$\bigl($ $33$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$  $x$ $\in$ $N$ $|$ $x$ $|$ $33$ $\bigr\}$ $\iff$ $Div$$\bigl($ $33$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $3$, $11$, $33$ $\bigr\}$

$Div$$\bigl($ $22$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$  $x$ $\in$ $N$ $|$ $x$ $|$ $22$ $\bigr\}$ $\iff$ $Div$$\bigl($ $22$ $\bigr)$ $=$ $\bigl\{$ $1$, $2$, $11$, $22$ $\bigr\}$

 $MCD$$\bigl($ $33$, $22$ $\bigr)$ $=$ $Max$$\bigl($ $Div$$\bigl($ $33$ $\bigr)$ $\cap$ $Div$$\bigl($ $23$ $\bigr)$$\bigr)$ $\iff$ $Max$$\bigl($ $\bigl\{$ $1$, $11$ $\bigr\}$  $\bigr)$ $=$ $11$.

In conclusione il $MCD$$\bigl($ $33$, $22$ $\bigr)$ $=$ $11$.

Scompioniamo $16$ : 

$16 = 2^4$ quindi i suoi divisori sono tutti i possibili numeri che si ottengono moltiplicando questi termini, e sono: $1$, $2$, $4$, $8$, $16$

Scompioniamo $20 = 5 \times 4 = 5 \times 2^2$

allora i divisori sono: $1$, $2$,$2^2$, $5$, $5 \times 2 = 10$, $5 \times 4 = 20$.

MCD si calcola considerando tutti i divisori comuni con esponente minimo. In comunque c'è solo $2$, che è preso nel primo caso con esponente $4$, nel secondo con esponente $2$. Dovendo prendere quello con esponente minimo, MCD è $2^2 = 4$.

Allo stesso modo per l'altro esercizio: $33 = 11 \times 3$, $22 = 11 \times 2$

Quindi MCD $=11$